Generatori e basi
Ciao.
Chiedo a voi perchè pur leggendo:
- i miei appunti
- il libro
- gli appunti di una che me li ha prestati
- il post di algebra lineare for dummies
continuo a confondermi durante gli esercizi....
in pratica mi viene chiesto, per esempio: stabilisci se i vettori (1,2,3,4),(-1,3,5,7),(7,7,3,1) generano $R^4$.
io non riesco a capire cosa mi chiedono. voglio dire, la definizione di famiglia di generatori è che, posto che W sia un sottospazio comprendente tutte le combinazioni lineari di F, questa è una famiglia con dei vettori in grado di generare qualsiasi combinazione lineare di quel sottospazio.
La definizione di base invece dice che è una famiglia di generatori di Vk linearmente indipendenti.
Quindi in pratica quando mi chiedono "questo genera quest'altro?" vuol dire "trova una base di quel sottospazio/spazio vettoriale"? O per generare un certo spazio/sottospazio va bene anche una famiglia linearmente dipendente?
E potremmo svolgere l'esercizio qui sopra e uno con le lettere?
Chiedo a voi perchè pur leggendo:
- i miei appunti
- il libro
- gli appunti di una che me li ha prestati
- il post di algebra lineare for dummies
continuo a confondermi durante gli esercizi....
in pratica mi viene chiesto, per esempio: stabilisci se i vettori (1,2,3,4),(-1,3,5,7),(7,7,3,1) generano $R^4$.
io non riesco a capire cosa mi chiedono. voglio dire, la definizione di famiglia di generatori è che, posto che W sia un sottospazio comprendente tutte le combinazioni lineari di F, questa è una famiglia con dei vettori in grado di generare qualsiasi combinazione lineare di quel sottospazio.
La definizione di base invece dice che è una famiglia di generatori di Vk linearmente indipendenti.
Quindi in pratica quando mi chiedono "questo genera quest'altro?" vuol dire "trova una base di quel sottospazio/spazio vettoriale"? O per generare un certo spazio/sottospazio va bene anche una famiglia linearmente dipendente?
E potremmo svolgere l'esercizio qui sopra e uno con le lettere?
Risposte
Un insieme di generatori di uno spazio $RR^n$ contiene almeno $n$ vettori.
Un insieme di vettori l.i. di uno spazio di $RR^n$ contiene al più $n$ vettori.
Una base è un insieme di vettori che sono sia generatori sia l.i.;
cioè contiene un numero $r$ di vettori tale che:
$r>=n ^^ r<=n hArr r=n$
Un insieme di vettori l.i. di uno spazio di $RR^n$ contiene al più $n$ vettori.
Una base è un insieme di vettori che sono sia generatori sia l.i.;
cioè contiene un numero $r$ di vettori tale che:
$r>=n ^^ r<=n hArr r=n$
"Ciome":
"Stabilisci se i vettori $(1,2,3,4),(-1,3,5,7),(7,7,3,1)$ generano $ RR^4 $.
Lo spazio $RR^4$ ha dimensione $4$, mentre i vettori dati sono solamente $3$, pertanto essi non potranno mai generare lo spazio $RR^4$ (puoi, però, ampliare l'insieme contenenti tali vettori ad una base: aggiungendo un ulteriore vettore che non sia C.L. dei precedenti).
Quindi, in soldoni, se ho uno SV costruito su un campo K (supponiamo un $K^n$ in generale) questo vuol dire che n determina sia la lunghezza della n-pla che il numero di vettori di cui è formata una base? (oltre a quello che hai scritto nelle prime due righe)
e se avessi un esercizio in cui il numero di vettori è sufficiente a generare $R^n$ ma va verificato che effettivamente possano, cosa devo fare? l'unica cosa che mi viene in mente è dimostrare tramite combinazione lineare e sistema che quei vettori non sono LD, o che, se alcuni lo sono, quantomeno quelli LI sono in numero maggiore di n....
e se avessi un esercizio in cui il numero di vettori è sufficiente a generare $R^n$ ma va verificato che effettivamente possano, cosa devo fare? l'unica cosa che mi viene in mente è dimostrare tramite combinazione lineare e sistema che quei vettori non sono LD, o che, se alcuni lo sono, quantomeno quelli LI sono in numero maggiore di n....
"Ciome":
Quindi, in soldoni, se ho uno spazio vettoriale costruito su un campo $K$ (supponiamo un $K^n$ in generale) questo vuol dire che $n$ determina sia la lunghezza della n-pla che il numero di vettori di cui è formata una base? (oltre a quello che hai scritto nelle prime due righe)
Con " lunghezza della n-pla" intendi che la n-upla ha 'n' entrate?
Sostanzialmente quello che conta è la dimensione dello spazio vettoriale: nell'esempio precedente, $dim(RR^n)=n$; ma non è sempre così: ci possono essere sottospazi di $RR^n$ con dimensione minore [nota]$AsubeRR^n rArr dim(A)<=n$.[/nota] oppure $RR[T]_(<=n)$ che ha dimensione pari a $n+1$; etcc...
"Ciome":
e se avessi un esercizio in cui il numero di vettori è sufficiente a generare $RR^n$ ma va verificato che effettivamente possano, cosa devo fare? l'unica cosa che mi viene in mente è dimostrare tramite combinazione lineare e sistema che quei vettori non sono LD,
Esattamente: avendo $RR^n$ vettori dello spazio $RR^n$, essi per definizione devono essere almeno $n$ e quindi devono essere l.i.[nota]Altrimenti, se non fossero l.i., ne potresti elidere, ad esempio, l'ultimo e otterresti $n-1$ vettori; che non possono generare $RR^n$.[/nota] (in questo caso hai dimostrato proprio che sono una base!)
"Ciome":
o che, se alcuni lo sono, quantomeno quelli LI sono in numero maggiore di n....
ALT! 
Abbiamo supposto che $n$ sia la dimensione del sottospazio preso in considerazione e, pertanto, il numero di generatori necessari per generare tale sottospazio; quindi per il
lemma di Steinitz si ha che:
se
$r=$numero vettori l.i.
$n=$numero generatori
$rArr r<=n$
se
$r=$numero vettori l.i.
$n=$numero generatori
$rArr r<=n$
"Magma":
Con " lunghezza della n-pla" intendi che la n-upla ha 'n' entrate?
Sostanzialmente quello che conta è la dimensione dello spazio vettoriale: nell'esempio precedente, $dim(RR^n)=n$; ma non è sempre così: ci possono essere sottospazi di $RR^n$ con dimensione minore [nota]$AsubeRR^n rArr dim(A)<=n$.[/nota] oppure $RR[T]_(<=n)$ che ha dimensione pari a $n+1$; etcc...
Con lunghezza intendo il numero di componenti dei vettori di quello SV. Per esempio (x,y,z) è un vettore di 3 componenti. Vorrei una conferma che se lavoro in $R^n$ vuol dire che sto lavorando con vettori con esattamente $n$ componenti.
Riguardo alla seconda parte nel quote, capito che n non indica necessariamente la dimensione che deve avere la base di un dato SV, sorge un altro problema: prima dici
avendo $R^n$ vettori dello spazio $R^n$, essi per definizione devono essere almeno n
che mi va anche bene visto che "Un insieme di generatori di uno spazio $R^n$ contiene almeno n vettori". Ma poi dici:
Abbiamo supposto che n sia la dimensione del sottospazio preso in considerazione e, pertanto, il numero di generatori necessari per generare tale sottospazio
e qui ho bisogno che mi confermi che intendi "il numero minimo di generatori necessari" e non "il numero esatto".
Infine, ci sono due miei errore nell'esprimermi adeguatamente nel testo di prima, di cui ti chiedo di scusarmi. riposto qui il testo corretto:
"e se avessi un esercizio in cui il numero di vettori dato è maggiore di quello minimo necessario a generare $R^n$ ma va verificato che effettivamente possano, cosa devo fare? l'unica cosa che mi viene in mente è dimostrare tramite combinazione lineare e sistema che quei vettori non sono LD, o che, se alcuni lo sono, quantomeno quelli LI sono in numero maggiore o uguale di n...."
A quel punto la mia verifica di indipendenza lineare di tali vettori mi porterà si a trovare un insieme di vettori LI, però questi saranno esattamente n perchè "Un insieme di vettori l.i. di uno spazio di $R^n$ contiene al più n vettori." Questo però non vuol dire che l'insieme iniziale di vettori non generi quello SV, giusto? Un insieme di generatori di $R^n$ ha almeno n vettori, ma anche se ne ha di più (e saranno quindi LD), comunque è in grado di generare tutto quello SV.
(facciamo prima se mi dici direttamente se ci sono delle relazioni o no fra quell'$n$ e altre cose oppure è tutta una serie di coincidenze, prchè al momento mi sento più incasinato di quando ho aperto il topic..)
"Ciome":
Vorrei una conferma che se lavoro in $R^n$ vuol dire che sto lavorando con vettori con esattamente $n$ componenti.
"Ciome":
Riguardo alla seconda parte nel quote, capito che n non indica necessariamente la dimensione che deve avere la base di un dato SV, dalla spiegazione che hai dato nell'ultimo post mi pare di capire che però $n$ indica il numero di vettori generatori di quel dato SV. (se ho cannato anche qui, facciamo prima se mi dici se ci sono delle relazioni o no fra quell'$n$ e altre cose oppure è tutta una serie di coincidenze)
È un caso particolare, vale sempre quello che ho scritto precedentemente: quello che devi guardare è la dimensione dl sottospazio, non l'apice di $RR$. Ho creato un'incomprensione io, mea culpa.
Si definisce dimensione di uno spazio vettoriale $V$ il numero di vettori contenuti in una base.
Se $dim(V)=n$, allora
$n$ è il numero minimo di generatori e
$n$ è il numero massimo di vettori l.i.
$n$ è il numero minimo di generatori e
$n$ è il numero massimo di vettori l.i.
Ho editato il messaggio precedente perchè stavo con un casino abissale in testa. Ho fatto un po' troppo tardi.
L'ultimo tuo messaggio l'ho capito perfettamente
L'ultimo tuo messaggio l'ho capito perfettamente
"Ciome":
prima dici
avendo $R^n$ vettori dello spazio $R^n$, essi per definizione devono essere almeno $n$
che mi va anche bene visto che "Un insieme di generatori di uno spazio $R^n$ contiene almeno n vettori".
Qui mi sono imbrogliato io, effettivamente non ha neanche molto senso
Comunque intendevo dire che lo spazio vettoriale $V$, con $dim(V)=n$, necessita di $n$ generatori.
Avendo proprio $n$ vettori, verificare che essi siano generatori equivale a verificare che essi siano l.i.
(equivalentemente stai verificando se essi costituiscano una base o meno; è un caso particolare questo!).
"Ciome":
Ma poi dici:
as
Abbiamo supposto che $n$ sia la dimensione del sottospazio preso in considerazione e, pertanto, il numero di generatori necessari per generare tale sottospazio
e qui ho bisogno che mi confermi che intendi "il numero minimo di generatori necessari" e non "il numero esatto".
Per definizione un insieme di generatori è un insieme minimale di vettori necessari a generare uno spazio.
Ad esempio, un insieme di generatori di $RR^2$ è $E={e_1, e_2}$, ma anche ${e_1, e_2, e_1+e_2, e_2+3e_1}$ e tutte le combinazioni lineare che vuoi "infilarci" dentro
Invece ${e_1, 1000e_1, e_1/2}$ non è un insieme di generatori per $RR^2$ perché, come puoi vedere, tale insieme non genera il vettore $e_2$.
"Ciome":
"e se avessi un esercizio in cui il numero di vettori dato è maggiore di quello minimo necessario a generare $R^n$ ma va verificato che effettivamente possano, cosa devo fare? l'unica cosa che mi viene in mente è dimostrare tramite combinazione lineare e sistema che quei vettori non sono LD, o che, se alcuni lo sono, quantomeno quelli LI sono in numero maggiore o uguale di n...."
A quel punto la mia verifica di indipendenza lineare di tali vettori mi porterà si a trovare un insieme di vettori LI, però questi saranno esattamente n perchè "Un insieme di vettori l.i. di uno spazio di $R^n$ contiene al più n vettori." Questo però non vuol dire che l'insieme iniziale di vettori non generi quello SV, giusto? Un insieme di generatori di $R^n$ ha almeno n vettori, ma anche se ne ha di più (e saranno quindi LD), comunque è in grado di generare tutto quello SV.
La verificare per un sistema di generatori può risultare rognosa in quanto del tutto computazionale: infatti per definizione si dovrebbe verificare che tale sistema generi tutto lo spazio; è più facile verificare l'indipendenza lineare.
Per esempio, usando l'astuzia, se riesci a trovare un insieme minale di vettori che generi lo spazio (per il lemma di Steinitz ciò equivale a cercare i vettori l.i.), allora anche l'insieme di partenza sarà un insieme di generatori; esattamente a come da te supposto.
Però fai attenzione al lemma di Steinizt: i vettori l.i. non possono essere più dei generatori!
Però fai attenzione al lemma di Steinizt: i vettori l.i. non possono essere più dei generatori!
Si si, chiaro. Quello che intendo è che se anche se mi danno una famiglia di , che so, 10 vettori, per generare uno SV di dimensione 3, comunque, anche trovando solo 3 vettori LI fra quei 10, la famiglia genera quello SV perchè contiene i generatori.
"Ciome":Però fai attenzione al lemma di Steinizt: i vettori l.i. non possono essere più dei generatori!
Si si, chiaro. Quello che intendo è che se anche se mi danno una famiglia di , che so, 10 vettori, per generare uno SV di dimensione 3, comunque, anche trovando solo 3 vettori LI fra quei 10, la famiglia genera quello SV perchè contiene i generatori.
Il senso è giusto, però, ho capito che è meglio essere pignoli.
Se supponi che $dim(V)=3$ allora non trovi 'solo tre' vettori, ma massimo $3$ vettori l.i.
Infatti la mia insistenza era sulla seguente frase:
"Ciome":
quantomeno quelli LI sono in numero maggiore o uguale di n
I vettori l.i. sono in numero minore o uguali a $n=dim(V)$.
Per questo si parla degli insieme di vettori l.i. come insiemi massimali: perché possono contenere al massimo/al più $n$ vettori.
ah quello... era dovuto al fatto che parlavamo di un esercizio dove c'era da verificare i generatori (numero minimo pari a n), usando un metodo che permette solo di trovare i vettori LI. Però adesso ho capito.
Posto di nuovo qui perchè è sempre legato all'argomento: potresti darmi la mano con alcuni esercizi, senza dover aprire un topic per ognuno?
I primi due ho semplicemente bisogno di una conferma per vedere se ho capito (normalmente basta la soluzione sul libro ma in questi casi non spiega il perchè):
1) stabilire se $F=(1,0,0-1),(0,1,2,0),(-1,2,4,1)$ è una famiglia di generatori del seguente sottospazio di $R^4$:
$W={(x,y,z,t) \in R^4 | x+t=0}$
E qui direi che non generano W perchè in numero insufficiente. Mi puoi anche confermare che quel x+t=0, in questo caso è praticamente solo un piccolo tranello per distrarre?
2) data una base i,j,k dello spazio dei vettori geometrici, trovare una base del sottospazio:
$W={i+j+k,i-k,j+2k,2i+j}$
Al che io farei comb. lineare , per ottenere:
$x*(i+j+k)+y*(i-k)+z*(j+2k)+t*(2i+j)$
e pongo tutto uguale al vettore nullo dopo aver raccolto in diversa maniera:
$i*(x+y+2t)+j(x+z+t)+k*(x-y+2z) = (0,0,0)$
da qui sistema con le robe dentro le parentesi, ognuna =0.
Se poi faccio la sostituzione $t= -z-x$ dalla seconda riga, la prima diventa esattamente uguale all'opposto della terza, quindi insomma, si vede una certa dipendenza lineare. Allora riprovo a fare la combinazione lineare con un vettore in meno e vedo se risultano LI, e avanti così. Può andare?
I primi due ho semplicemente bisogno di una conferma per vedere se ho capito (normalmente basta la soluzione sul libro ma in questi casi non spiega il perchè):
1) stabilire se $F=(1,0,0-1),(0,1,2,0),(-1,2,4,1)$ è una famiglia di generatori del seguente sottospazio di $R^4$:
$W={(x,y,z,t) \in R^4 | x+t=0}$
E qui direi che non generano W perchè in numero insufficiente. Mi puoi anche confermare che quel x+t=0, in questo caso è praticamente solo un piccolo tranello per distrarre?
2) data una base i,j,k dello spazio dei vettori geometrici, trovare una base del sottospazio:
$W={i+j+k,i-k,j+2k,2i+j}$
Al che io farei comb. lineare , per ottenere:
$x*(i+j+k)+y*(i-k)+z*(j+2k)+t*(2i+j)$
e pongo tutto uguale al vettore nullo dopo aver raccolto in diversa maniera:
$i*(x+y+2t)+j(x+z+t)+k*(x-y+2z) = (0,0,0)$
da qui sistema con le robe dentro le parentesi, ognuna =0.
Se poi faccio la sostituzione $t= -z-x$ dalla seconda riga, la prima diventa esattamente uguale all'opposto della terza, quindi insomma, si vede una certa dipendenza lineare. Allora riprovo a fare la combinazione lineare con un vettore in meno e vedo se risultano LI, e avanti così. Può andare?
"Ciome":
1) stabilire se $F=(1,0,0-1),(0,1,2,0),(-1,2,4,1)$ è una famiglia di generatori del seguente sottospazio di $R^4$: $W={(x,y,z,t) \in R^4 | x+t=0}$
E qui direi che non generano W perché in numero insufficiente. Mi puoi anche confermare che quel x+t=0, in questo caso è praticamente solo un piccolo tranello per distrarre?
[...] parte cancellata in quanto errata!
"Ciome":
2) data una base i,j,k dello spazio dei vettori geometrici, trovare una base del sottospazio:
$W={i+j+k,i-k,j+2k,2i+j}$
Al che io farei comb. lineare , per ottenere:
Allora riprovo a fare la combinazione lineare con un vettore in meno e vedo se risultano LI, e avanti così. Può andare?
Lo puoi fare in virtù del lemma di eliminazione: se hai un insieme di generatori l.d., allora puoi elidere a mano mano i vettori che sono C.L. dei precedenti senza alterare lo spazio; così facendo trovi un insieme di vettori l.i. (equivalentemente trovi una base dello spazio).
Hai studiato le componenti di un vettore rispetto a una base? In questo caso è molto più comodo!
riguardo al 1), ho guardato la soluzione: non è una famiglia di generatori... (non dice altro, non spiega perchè)
riguardo al 2) non sono sicuro di capire a cosa ti riferisci. so cosa sono le coordinate rispetto a una base, forse intendi quelle? come dovrei fare? quello che ti ho detto è l'unico metodo che conosco...
riguardo al 2) non sono sicuro di capire a cosa ti riferisci. so cosa sono le coordinate rispetto a una base, forse intendi quelle? come dovrei fare? quello che ti ho detto è l'unico metodo che conosco...
"Ciome":
riguardo al 2) non sono sicuro di capire a cosa ti riferisci. so cosa sono le coordinate rispetto a una base, forse intendi quelle? come dovrei fare? quello che ti ho detto è l'unico metodo che conosco...
Ti ricavai le componenti rispetto a una base comoda, le metti in riga/colonna dentro una matrice; in seguito ne calcoli il rango e scopri quanti siano i vettori l.i.
"Ciome":
riguardo al 1), ho guardato la soluzione: non è una famiglia di generatori... (non dice altro, non spiega perchè)
Scusa, ho fatto un errore clamoroso io!
Me ne vergogno molto $ x+t=0 hArr x=-t$
L'equazione ha $oo^3$ soluzioni, ossia
$ ((-t),(y),(z),(t)) hArr y((0),(1),(0),(0))+z((0),(0),(1),(0))+ t((-1),(0),(0),(1)) $
$ W=mathcal (L) ((0),(1),(0),(0)), ((0),(0),(1),(0)),((-1),(0),(0),(1)) $
$W$ è generato da quei tre vettori che sono l.i. indipendenti, quindi formano una base
pertanto $dim(W)=3$
L'equazione ha $oo^3$ soluzioni, ossia
$ ((-t),(y),(z),(t)) hArr y((0),(1),(0),(0))+z((0),(0),(1),(0))+ t((-1),(0),(0),(1)) $
$ W=mathcal (L) ((0),(1),(0),(0)), ((0),(0),(1),(0)),((-1),(0),(0),(1)) $
$W$ è generato da quei tre vettori che sono l.i. indipendenti, quindi formano una base
pertanto $dim(W)=3$
Invece ponendo i vettori dati in colonna (o riga; è indifferente) ottieni che
$r ((1,0,0,-1),(0,1,2,0),(-1,2,4,1))=2$
cioè essi sono vettori l.d.
Quindi non sono sufficienti per generare $W$!
cioè essi sono vettori l.d.
Quindi non sono sufficienti per generare $W$!
Chiedo umilmente scusa per l'inconveniente!
Grazie mille. Non ti preoccupare per l'errore, sei di grande aiuto.
riguardo al 2, per ora ho studiato solo numeri complessi, spazi e sottospazi, famiglie e basi, applicazioni lineari. (e matrici a scala + determinante perchè era un argomento facile che ho fatto in pochissimo tempo)
Sto facendo gli esercizi sulle app. lineari, poi ho il capitolo dove ho le matrici ad esse associate e successivamente c'è il capitolo sulle matrici a scala (di cui ho solo imparato come farle a scala, non tutte le varie implicazioni e applicazioni). Per cui magari fra qualche giorno lo potrò svolgere in quel modo.
Il bello è che, seppur incontrando difficoltà qui e li, con l'algebra linare finora me la sono cavata, ma ho dato un'occhiata alla diagonalizzabilità e alla parte di geometria e sto male solo a guardarla.
riguardo al 2, per ora ho studiato solo numeri complessi, spazi e sottospazi, famiglie e basi, applicazioni lineari. (e matrici a scala + determinante perchè era un argomento facile che ho fatto in pochissimo tempo)
Sto facendo gli esercizi sulle app. lineari, poi ho il capitolo dove ho le matrici ad esse associate e successivamente c'è il capitolo sulle matrici a scala (di cui ho solo imparato come farle a scala, non tutte le varie implicazioni e applicazioni). Per cui magari fra qualche giorno lo potrò svolgere in quel modo.
Il bello è che, seppur incontrando difficoltà qui e li, con l'algebra linare finora me la sono cavata, ma ho dato un'occhiata alla diagonalizzabilità e alla parte di geometria e sto male solo a guardarla.
"Ciome":
riguardo al 2,
Data la base $mathcal (A)={i, j, k}$ dello spazio dei vettori geometrici;
e avendo il sottospazio $ W=mathcal (L){i+j+k,i-k,j+2k,2i+j} $
Per verificare se quei generatori sono una base, ossia sono l.i., puoi risolvere un sistema lineare omogeneo (e saranno l.i. solo nel caso in cui otterrai come unica soluzione quella nulla); oppure puoi risolverlo nel seguente modo.
$[i+j+k]_A=(1,1,1)$
$[i-k]_A=(1,0,-1)$
$[j+2k]_A=(0,1,2)$
$[2i+j]_A=(2,1,0)$
$r( (1,1,1),(1,0,-1),(0,1,2),(2,1,0))=2$
$[i-k]_A=(1,0,-1)$
$[j+2k]_A=(0,1,2)$
$[2i+j]_A=(2,1,0)$
$r( (1,1,1),(1,0,-1),(0,1,2),(2,1,0))=2$
Quindi dei vettori dati solo due sono l.i. indipendenti e non sono sufficienti per generare lo spazio dei vettori geometrici di dimensione 3; in conclusione essi non costituiscono una base.
"Ciome":
Il bello è che, seppur incontrando difficoltà qui e li, con l'algebra linare finora me la sono cavata, ma ho dato un'occhiata alla diagonalizzabilità e alla parte di geometria e sto male solo a guardarla.
Tranquillo! È del tutto normale, devi solo metabolizzare bene gli argomenti.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo