Funzione e continuità con aperti (pt2)
Studiando ho trovato questa proposizione non dimostrata:
$f : (X1, τ1) → (X2, τ2)$ è continua sse e' continua per successioni. (con (X, τ) spazio topologico) se vale il I assioma di numerabilità, cioè quello che per ogni punto esiste una collezione numerabile di intorni
aperti tale che ogni altro intorno contenga uno di essi.
Ho provato a dimostrarla ma non riesco in un verso.
In particolare =>
Non mi sembra però venire <=
Ho provato ad esempio a prendere $x in f^-1(V) $ e siccome vale il pirmo assioma $∃{B_n}$ tale per cui x sia elemento di ogni Bn.
Poi ho pensato che convergendo $x_n->x$ ho quindi per ogni aperto che esiste N t.c. $x_n$ sta in quell'aperto, dunque posso dire ad esempio che per $n>=k$ $x_k in B_k$
poi ho provato a ragionare su $f(x_n)->f(x)$ ma on ho ricavato granché:
ho poi porvato per assurdo ad esempio dicendo $f^-1(V)$ non è aperto, dunque deve esistere un punto x t..c. per ongi intorno U di x si ha che $U$ intersecato $f^_1(V)={}$
A questo punto essendo valido il primo assioma ho la cllezine di $U_k$ intorni numerabili, quindi per ogni $U_k$ esiste N t.c $x_n in U_k$ ma anche qui poi mi bloccoperché non trovo valide idee.
Dunque mi chiedo, se la prima è gista come cavolo si dimostra la seconda <= ci ragiono da molto ma non riesco
$f : (X1, τ1) → (X2, τ2)$ è continua sse e' continua per successioni. (con (X, τ) spazio topologico) se vale il I assioma di numerabilità, cioè quello che per ogni punto esiste una collezione numerabile di intorni
aperti tale che ogni altro intorno contenga uno di essi.
Ho provato a dimostrarla ma non riesco in un verso.
In particolare =>
Non mi sembra però venire <=
Ho provato ad esempio a prendere $x in f^-1(V) $ e siccome vale il pirmo assioma $∃{B_n}$ tale per cui x sia elemento di ogni Bn.
Poi ho pensato che convergendo $x_n->x$ ho quindi per ogni aperto che esiste N t.c. $x_n$ sta in quell'aperto, dunque posso dire ad esempio che per $n>=k$ $x_k in B_k$
poi ho provato a ragionare su $f(x_n)->f(x)$ ma on ho ricavato granché:
ho poi porvato per assurdo ad esempio dicendo $f^-1(V)$ non è aperto, dunque deve esistere un punto x t..c. per ongi intorno U di x si ha che $U$ intersecato $f^_1(V)={}$
A questo punto essendo valido il primo assioma ho la cllezine di $U_k$ intorni numerabili, quindi per ogni $U_k$ esiste N t.c $x_n in U_k$ ma anche qui poi mi bloccoperché non trovo valide idee.
Dunque mi chiedo, se la prima è gista come cavolo si dimostra la seconda <= ci ragiono da molto ma non riesco
Risposte
Se $f^{-1}(V)$ contiene uno dei $B_n$ hai finito, quindi adesso assumi che $f^{-1}(V)$ non contenga nessuno dei $B_n$. Allora per ogni $n$ esiste $x_n in B_n$ tale che $x_n$ non appartiene a $f^{-1}(V)$. Sai continuare?
Ci ho provato un bel po' ma non ci riesco. Credo di avere dei dubbi:
Noi sappiamo che $f^-1(V)$ è aperto se ogni suo punto ha degl iintorni aperti interamente contenuti in esso. L'idea è che tali intorn siano proprio $B_n$ e quindi suggerisci di negare che $B_n$ possa essere contenuto in $f^-1(V)$ così da trovare un assurdo. E in questo modo avrei per ogni x un $B_n$ che è aperto contenuto nella controimmagine di V e sarei a posto perché mostrerei che la controimmagine è un aperto. Fin qui mi è chiaro.
Quindi dicamo che $∄B_n⊆f^-1(V)$.
Ora io ho ragionato un su questo:
dall'ipotesi di continuità per successioni ho che $x_n->x => f(x_n)->f(x)$ per questo per ogni aperto e quindi anche V esiste $N$ t.c $forall f(x_(n>N)) in V$.
Questo vuol dire che $x_(n>N)in f^-1(V)$.
Poi siccome $x_n->x$ ad esempio per un qualche $B_n$ ho $N'$ t.c $forall n>N'$ $x_n in B_n⊄f^-1(V)$
- però non capisco perché dici che c'è un $n''$ tale che $x_(n'')!inf^-1(V)$ il fatto che $B_n⊆f^-1(V)$ vuol solo dire che alcuni elementi di $f^-1(V)$ non stanno in $B_n$ ma tutti gli $x_n$ potrebbero stare in entrambi, e solo alri elementi non stanno in entrambi, così da assicurare la non inclusione.
- inoltre anche ammettendo di aver capito il perché ci sia un $x_(n'')!in f^-1(V)$, non capisco bene come usarlo perché io so che $x_(n>N)in f^-1(V)$ e che un $x_(n'')!in f^-1(V)$, ma iopotrei avere $n>N>n''$ e quindi non contraddirei nulla perché $x_(n>N)$ stà nella controimmagine.
Non capisco queste due cose.
Noi sappiamo che $f^-1(V)$ è aperto se ogni suo punto ha degl iintorni aperti interamente contenuti in esso. L'idea è che tali intorn siano proprio $B_n$ e quindi suggerisci di negare che $B_n$ possa essere contenuto in $f^-1(V)$ così da trovare un assurdo. E in questo modo avrei per ogni x un $B_n$ che è aperto contenuto nella controimmagine di V e sarei a posto perché mostrerei che la controimmagine è un aperto. Fin qui mi è chiaro.
Quindi dicamo che $∄B_n⊆f^-1(V)$.
Ora io ho ragionato un su questo:
dall'ipotesi di continuità per successioni ho che $x_n->x => f(x_n)->f(x)$ per questo per ogni aperto e quindi anche V esiste $N$ t.c $forall f(x_(n>N)) in V$.
Questo vuol dire che $x_(n>N)in f^-1(V)$.
Poi siccome $x_n->x$ ad esempio per un qualche $B_n$ ho $N'$ t.c $forall n>N'$ $x_n in B_n⊄f^-1(V)$
- però non capisco perché dici che c'è un $n''$ tale che $x_(n'')!inf^-1(V)$ il fatto che $B_n⊆f^-1(V)$ vuol solo dire che alcuni elementi di $f^-1(V)$ non stanno in $B_n$ ma tutti gli $x_n$ potrebbero stare in entrambi, e solo alri elementi non stanno in entrambi, così da assicurare la non inclusione.
- inoltre anche ammettendo di aver capito il perché ci sia un $x_(n'')!in f^-1(V)$, non capisco bene come usarlo perché io so che $x_(n>N)in f^-1(V)$ e che un $x_(n'')!in f^-1(V)$, ma iopotrei avere $n>N>n''$ e quindi non contraddirei nulla perché $x_(n>N)$ stà nella controimmagine.
Non capisco queste due cose.
Il fatto è che la struttura logica del tuo ragionamento è sbagliata.
Il mio suggerimento è di costruire la successione $x_n$ come segue. Siccome $B_n$ non è contenuto in $f^(-1)(V)$, sappiamo che non ogni elemento di $B_n$ sta in $f^(-1)(V)$, quindi esiste un elemento di $B_n$ che non sta in $f^(-1)(V)$. Chiamiamo tale elemento $x_n$. (Qui, per poter scegliere $x_n$, occorre l'assioma della scelta numerabile, per la cronaca.)
Ora devi dimostrare che $(x_n)_n$ converge a $x$. Come lo dimostri?
Da qui deduci (per la continuità per successioni) che $f(x_n)$ converge a $f(x)$ e da qui deduci un assurdo (come?).
"indenzenblao":Questo non ha senso, stai dicendo "non esiste $B_n$ contenuto in $f^(-1)(V)$". Non è così, la formulazione corretta è "nessun $B_n$ è contenuto in $f^(-1)(V)$", cioè "per ogni $n$, $B_n$ non è contenuto in $f^(-1)(V)$", cioè in formule "$forall n,$ [tex]B_n \not \subseteq f^{-1}(V)[/tex]".
Quindi dicamo che $∄B_n⊆f^-1(V)$.
Ora io ho ragionato un su questo:Vedi, qui la struttura logica del tuo ragionamento cade e da qui in poi è impossibile capire. Tu parli di una successione $x_n$ che non hai nemmeno definito. Cosa sono gli $x_n$? Come li definisci? Non puoi parlare di una cosa che non hai definito. A me sembra che tu "fai scendere dal cielo" una successione $x_n$ e poi fai dei ragionamenti su questa successione. Ma questo è logicamente insensato, la successione $x_n$ la devi costruire/definire tu.
dall'ipotesi di continuità per successioni ho che $x_n->x => f(x_n)->f(x)$ per questo per ogni aperto e quindi anche V esiste $N$ t.c $forall f(x_(n>N)) in V$.
Questo vuol dire che $x_(n>N)in f^-1(V)$.
Il mio suggerimento è di costruire la successione $x_n$ come segue. Siccome $B_n$ non è contenuto in $f^(-1)(V)$, sappiamo che non ogni elemento di $B_n$ sta in $f^(-1)(V)$, quindi esiste un elemento di $B_n$ che non sta in $f^(-1)(V)$. Chiamiamo tale elemento $x_n$. (Qui, per poter scegliere $x_n$, occorre l'assioma della scelta numerabile, per la cronaca.)
Ora devi dimostrare che $(x_n)_n$ converge a $x$. Come lo dimostri?
Da qui deduci (per la continuità per successioni) che $f(x_n)$ converge a $f(x)$ e da qui deduci un assurdo (come?).
Grazie per la correzione. Ora mi metto a ragionare sulla tua risposta, intanto volevo dare una veloce replica.
Per la prima non vorrei essere stato poco chiaro e non vorrei che fosse giusto ma mi ero spiegato malaccio, mi rifaccio a qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Quantific ... ivi_logici
Premesso che $AAn,B_n⊆f^-1(V)$ è equivalente a $AAB_n,B_n⊆f^-1(V)$ che leggo come $forallB_n$ è contenuto in $f^-1(V)$ "ogni $B_n$ è contenuto in $f^-1(V)$"
io ho esattamente $AAx,notP(x)$, cioè ogni numero non è pari, che equivale a "nessun numero è pari" (analogo al nostro caso "nessun $B_n$ è contenuto in $f^-1(V)$") che è ovviamente possbile rendere come "non esiste numero pari" (come dice wiki) cioé $not(∃x.P(x))$ (nel nostro caso non esiste $B_n$ che sia contenuto in $f^-1(V)$).
Quindi affermare: "nessun Bn è contenuto in f−1(V)" mi pare equivalente a dire "non esiste Bn contenuto in f−1(V)" che ho semplicemente reso come $∄B_n⊆f^-1(V)$ al pari di $forallB_n$ è contenuto in $f^-1(V)$ (usando il simbolo grafico per non scrivere in maniera estesa "per ogni" o "esiste" nella frase in italiano).
Forse stai dicendo che $∄B_n⊆f^-1(V)$ non ha senso matematicamente? Quello si, però come non ha senso dire "ogni $B_n$ è contenuto in $f^-1(V)$". Ma era solo la lettura in italiano della cosa, che si legge:
"non esiste $B_n$ contenuto in $f^-1(V)$" e sottende $not(∃B_n.(B_n⊆f^-1(V)))$
Spero che così sia spiegato più dignitosamente e concordi, altrimenti vorrebbe dire che non ho capito un tubero e spero di no
.
Seconda cosa, in realtà non stavo calando una $x_n$ dal cielo ma stavo ragionando su una $forall x_n$, cioè dato che per ogni xn vale che $x_n->x =>f(x_n)->f(x)$ allora ragionavo in generale e non capivo come potessi trovare un n per cui xn non stesse in Bn in generale. Ora capisco che volevi indirizzarmi verso il costruire una opportuna xn che avesse degli xn esterni. Su questo ci ragiono un attimo e ti dico.
Spero di aver chiarito le parti in cui ero stato non chiaro, fammi sapere se ora ho spiegato i punti che mi sottoponevi ad analisi.
Per la prima non vorrei essere stato poco chiaro e non vorrei che fosse giusto ma mi ero spiegato malaccio, mi rifaccio a qui: https://it.wikipedia.org/wiki/Quantific ... ivi_logici
Premesso che $AAn,B_n⊆f^-1(V)$ è equivalente a $AAB_n,B_n⊆f^-1(V)$ che leggo come $forallB_n$ è contenuto in $f^-1(V)$ "ogni $B_n$ è contenuto in $f^-1(V)$"
io ho esattamente $AAx,notP(x)$, cioè ogni numero non è pari, che equivale a "nessun numero è pari" (analogo al nostro caso "nessun $B_n$ è contenuto in $f^-1(V)$") che è ovviamente possbile rendere come "non esiste numero pari" (come dice wiki) cioé $not(∃x.P(x))$ (nel nostro caso non esiste $B_n$ che sia contenuto in $f^-1(V)$).
Quindi affermare: "nessun Bn è contenuto in f−1(V)" mi pare equivalente a dire "non esiste Bn contenuto in f−1(V)" che ho semplicemente reso come $∄B_n⊆f^-1(V)$ al pari di $forallB_n$ è contenuto in $f^-1(V)$ (usando il simbolo grafico per non scrivere in maniera estesa "per ogni" o "esiste" nella frase in italiano).
Forse stai dicendo che $∄B_n⊆f^-1(V)$ non ha senso matematicamente? Quello si, però come non ha senso dire "ogni $B_n$ è contenuto in $f^-1(V)$". Ma era solo la lettura in italiano della cosa, che si legge:
"non esiste $B_n$ contenuto in $f^-1(V)$" e sottende $not(∃B_n.(B_n⊆f^-1(V)))$
Spero che così sia spiegato più dignitosamente e concordi, altrimenti vorrebbe dire che non ho capito un tubero e spero di no
.Seconda cosa, in realtà non stavo calando una $x_n$ dal cielo ma stavo ragionando su una $forall x_n$, cioè dato che per ogni xn vale che $x_n->x =>f(x_n)->f(x)$ allora ragionavo in generale e non capivo come potessi trovare un n per cui xn non stesse in Bn in generale. Ora capisco che volevi indirizzarmi verso il costruire una opportuna xn che avesse degli xn esterni. Su questo ci ragiono un attimo e ti dico.
Spero di aver chiarito le parti in cui ero stato non chiaro, fammi sapere se ora ho spiegato i punti che mi sottoponevi ad analisi.
Sulla prima parte ok, ho capito. Io eviterei di usare il quantificatore "non esiste" ma è questione di preferenze, non è sbagliato quello che hai scritto.
Riguardo la seconda parte, per l'assioma della scelta numerabile possiamo scegliere un $x_n$ in $B_n$ tale che $x_n notin f^(-1)(V)$ e questo lo possiamo fare per ogni $n$. Adesso hai la tua successione $(x_n)_n$ e puoi continuare.
Riguardo la seconda parte, per l'assioma della scelta numerabile possiamo scegliere un $x_n$ in $B_n$ tale che $x_n notin f^(-1)(V)$ e questo lo possiamo fare per ogni $n$. Adesso hai la tua successione $(x_n)_n$ e puoi continuare.
"Martino":
Sulla prima parte ok, ho capito. Io evirerei di usare il quantificatore "non esiste" ma è questione di preferenze, non è sbagliato quello che hai scritto.
Perfetto, siccome sto imparando a scrivere anche in modo corretto per rapportarmi con gli altri e non solo con me stesso, consigli quindi di scrivere solo a parole $¬(∃B_n.(B_n⊆f^-1(V)))$ "non esiste $B_n$ contenuto in $f^-1(V)$" come appunto (non esiste numero pari della pagina wiki), e invece di non usare "$∄B_n$ contenuto in $f^-1(V)$" ossia la bruttura: $∄B_n⊆f^-1(V)$?
Era solo una comodità, ma se fa schifo in tal caso lo terrò a mente
!"Martino":sì, ora mi è chiara l'idea, non so se riesco devo provarci. Ero un attimo distratto dalla storia dei quantificatori ora mi metto a ragionare su questo
Riguardo la seconda parte, per l'assioma della scelta numerabile possiamo scegliere un $x_n$ in $B_n$ tale che $x_n notin f^(-1)(V)$ e questo lo possiamo fare per ogni $n$. Adesso hai la tua successione $(x_n)_n$ e puoi continuare.
Aggiunta:
Ok ragionerei così dopo i tuoi big hint:
Prendiamo $V$ intorno di $X_2$
Per ogni punto $x in f^-1(V)$ per il primo assioma so che esiste la collezione numerabile di ${B_n}$
Costruisco la successone ${x_n}$ tale che ogni $x_n in B_n$ t.c $x !in f^-1(V)∩B_n$
D'altra parte $x_n->x$, questo perché il primo assioma dice che i $B_n$ sono aperti e intorni, e quindi dato che per ogni intorno $U$ di $x$ esiste $N$ tale che se $n>N$ si ha $x_n in U$ questo varrà anche per $B_n$ e per $n=n$ ogni $x_n in B_n$ per costruzione
per ipotesi di continuità per successioni ci converge anche $f(x_n)->f(x)$ quindi per ogni intorno $V'$ di f(x) compreso $V$ scelto inizialmente esiste $N'$ tale che $f(x_(n>N')) in V$. Quindi $x_(n>N')inf^-1(V)$ per qualche n che rispetti quella disuguaglianza, ma è assurdo perché abbiamo preso tutti gl $x_n$ in modo che non stessero mai nella retroimmagine di V.
Tutto ok, ma c'è un piccolo dettaglio da sistemare:
Si può fare così: all'inizio, quando dici che esiste la base di intorni aperti ${B_n}_n$ di $x$, puoi definire $A_n = B_1 nn ... nn B_n$ (l'intersezione dei $B_i$ con $1 le i le n$), e questo è un aperto essendo un'intersezione finita di aperti. Ora anche ${A_n}_n$ è una base di intorni aperti di $x$ (se ci pensi un po' è ovvio, usando il fatto che $A_n subseteq B_n$). Questa nuova base di intorni ha la proprietà che sono intorni "inscatolati", cioè $A_1 supseteq A_2 supseteq ...$. Quindi in pratica puoi supporre che gli intorni della tua base siano inscatolati.
Prendi allora un'altra base di intorni (che continuerò a chiamare ${B_n}$) tali che $B_1 supseteq B_2 supseteq ...$. Ora prendi $x_n in B_n$ tale che $x_n notin f^(-1)(V)$, per ogni $n$. In questo modo, se un certo $B_n$ è contenuto in $U$, allora $B_m$ è contenuto in $U$ per ogni $m > n$ e puoi concludere che $x_m in B_m subseteq B_n subseteq U$, e quindi $x_m in U$, per ogni $m > n$. Quindi $x_n$ converge a $x$.
"indenzenblao":Non è così semplice, devi dimostrare che esiste $N$ tale che $x_n in U$ per ogni $n>N$.
D'altra parte $x_n->x$, questo perché il primo assioma dice che i $B_n$ sono aperti e intorni, e quindi dato che per ogni intorno $U$ di $x$ esiste $N$ tale che se $n>N$ si ha $x_n in U$ questo varrà anche per $B_n$ e per $n=n$ ogni $x_n in B_n$ per costruzione
Si può fare così: all'inizio, quando dici che esiste la base di intorni aperti ${B_n}_n$ di $x$, puoi definire $A_n = B_1 nn ... nn B_n$ (l'intersezione dei $B_i$ con $1 le i le n$), e questo è un aperto essendo un'intersezione finita di aperti. Ora anche ${A_n}_n$ è una base di intorni aperti di $x$ (se ci pensi un po' è ovvio, usando il fatto che $A_n subseteq B_n$). Questa nuova base di intorni ha la proprietà che sono intorni "inscatolati", cioè $A_1 supseteq A_2 supseteq ...$. Quindi in pratica puoi supporre che gli intorni della tua base siano inscatolati.
Prendi allora un'altra base di intorni (che continuerò a chiamare ${B_n}$) tali che $B_1 supseteq B_2 supseteq ...$. Ora prendi $x_n in B_n$ tale che $x_n notin f^(-1)(V)$, per ogni $n$. In questo modo, se un certo $B_n$ è contenuto in $U$, allora $B_m$ è contenuto in $U$ per ogni $m > n$ e puoi concludere che $x_m in B_m subseteq B_n subseteq U$, e quindi $x_m in U$, per ogni $m > n$. Quindi $x_n$ converge a $x$.
In effetti non ci avevo posto troppa attenzione a quel fatto, il punto è che per convergere io devo dimostrare che per ogni $U$ aperto esiste $N$ mentre io ho mostrato che per ogni $B_n$ esiste $N$.
Però mi ero detto: dato che il primo assioma dice che per ogni punto esiste una classe di intorni ${B_n}$ tali che ogni altro intorno include un $B_n$, questo mi è già sufficiente per dire che se la successione converge per gli intorni ${B_n}$ allora converge con qualsiasi intorno $U$.
In poche parole se io prendo una successione che ha $x_n in B_n$ mi pare che in automatico qualunque intorno di x, cioè $U$, rispetta quella proprietà, perché alla fine l'inclusione dei $B_n$ in $U$ (già intrinseco nell'assioma) mi dà un controllo. Non capisco cosa mi sfugga.
EDIT: ah no ok forse ci sono, in effetti il primo assioma non dice che sono inscatolati i vari $B_n$, incosnciamente già li prendevo così. Poi è corretto, ma è un discorso a se stante, il fatto che ogni altro intorno contenendo un $B_n$ mi garantisce che $x_n in B_n => x_n in U$ e quindi mi basta provare la convergenza per gli intorni della base B_n anziché per ogni U.
però credo di non aver capito due cose comunque:
I) in effetti non sono sicuro di capire il motivo per cui ${A_n}$ sia ancora una base di intorni, mi rendo conto che $A_n⊆B_n$ però se prendo banalmente degli insiemi che si intersecano riunendo le intersezioni non mi pare di trovare l'insieme originario. E l'ide adella base sarebbe quella di poter ricreare i $B_n$ che interseco.
II) Mi sfugge poi cosa te ne fai della ${A_n}$, dato che poi sfrutti ${B_n}$ inscatolata e di An non te ne sei servito.
Però mi ero detto: dato che il primo assioma dice che per ogni punto esiste una classe di intorni ${B_n}$ tali che ogni altro intorno include un $B_n$, questo mi è già sufficiente per dire che se la successione converge per gli intorni ${B_n}$ allora converge con qualsiasi intorno $U$.
In poche parole se io prendo una successione che ha $x_n in B_n$ mi pare che in automatico qualunque intorno di x, cioè $U$, rispetta quella proprietà, perché alla fine l'inclusione dei $B_n$ in $U$ (già intrinseco nell'assioma) mi dà un controllo. Non capisco cosa mi sfugga.
EDIT: ah no ok forse ci sono, in effetti il primo assioma non dice che sono inscatolati i vari $B_n$, incosnciamente già li prendevo così. Poi è corretto, ma è un discorso a se stante, il fatto che ogni altro intorno contenendo un $B_n$ mi garantisce che $x_n in B_n => x_n in U$ e quindi mi basta provare la convergenza per gli intorni della base B_n anziché per ogni U.
però credo di non aver capito due cose comunque:
I) in effetti non sono sicuro di capire il motivo per cui ${A_n}$ sia ancora una base di intorni, mi rendo conto che $A_n⊆B_n$ però se prendo banalmente degli insiemi che si intersecano riunendo le intersezioni non mi pare di trovare l'insieme originario. E l'ide adella base sarebbe quella di poter ricreare i $B_n$ che interseco.
II) Mi sfugge poi cosa te ne fai della ${A_n}$, dato che poi sfrutti ${B_n}$ inscatolata e di An non te ne sei servito.
"indenzenblao":E' ancora una base di intorni perché se $U$ è un qualsiasi intorno di $x$ allora esiste $n$ tale che $B_n$ è contenuto in $U$ (perché ${B_n}_n$ è una base di intorni di $x$) e, siccome $A_n subseteq B_n subseteq U$, abbiamo che $A_n$ è contenuto in $U$. Abbiamo cioè che per ogni intorno $U$ di $x$ esiste $n$ tale che $A_n subseteq U$. Inoltre $x in A_n$ per ogni $n$ per definizione di $A_n$ (e per il fatto che $x in B_n$ per ogni $n$). Questo significa che ${A_n}_n$ è una base di intorni di $x$.
I) in effetti non sono sicuro di capire il motivo per cui ${A_n}$ sia ancora una base di intorni, mi rendo conto che $A_n⊆B_n$ però se prendo banalmente degli insiemi che si intersecano riunendo le intersezioni non mi pare di trovare l'insieme originario. E l'ide adella base sarebbe quella di poter ricreare i $B_n$ che interseco.
II) Mi sfugge poi cosa te ne fai della ${A_n}$, dato che poi sfrutti ${B_n}$ inscatolata e di An non te ne sei servito.Ma come scusa?
Gli $A_n$ sono inscatolati, quindi esiste una base di intorni inscatolati. Qui ho continuato la dimostrazione con gli intorni inscatolati $A_n$ (solo che li ho chiamati $B_n$ per non cambiare notazione).
"Martino":forse c'è una cosa che non so sulla base di intorni.
E' ancora una base di intorni perché
Però a me sembra definita come:
* sono intorni quindi ogni x ne è contenuto (come hai mostrato)
* ogni altro aperto si può costruire dall'unione di aperti della base (è questo secondo punto che non mi pare in generale valga, per quello facevo il discorso dell'unione di intersezioni)
Mi pare che tu hai dimostrato solo il primo punto, e questo è suficiente per definirla base?
Qui ho continuato la dimostrazione con gli intorni inscatolati $A_n$devi scusarmi ma non avevo capito, mi sono confuso perché pensavo dicessi che i $B_n$ erano inscatolati già di loro, insomma non avevo capito che volevi fare solo un cambio nome e pensavo tornassi ai Bn iniziali
comunque mi sono incasinato prima, è chiaro ora! Ti ringrazio.
Qual è la tua definizione di base di intorni di un punto? Scrivila in modo preciso (nel tuo ultimo messaggio non l'hai definita in modo preciso), se preferisci copiala dal tuo libro, o dalle dispense su cui studi, ma sii preciso.
Ok scusa per la poca rigorosità, mi correggo come richiedi 
:
Definizione (base per la topologia):
Una base per $tau$ è un sottoinsieme di aperti t.c. $forallA in tau e A!=0$ sia unione di aperti della base
Definizione (intorno aperto):
Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico e $x ∈ X$. Un intorno (aperto) di $x$ è un sottoinsieme aperto contenente $x$
In realtà una vera definizione di base di intorni non mi è stata data e l'ho letta da te nel tuo messaggio e mi sembravo potersi dedurre dai due concetti sopra... pensavo che la:
Definizione (base di intorni): (fosse)
Definiamo base di intorni aperti di un punto $x$ per uno spazio topologico $(X, τ)$ una collezione di intorni (aperti) che sono anche base per $tau$
Il fatto che siano "base" lo interpretavo come aventi la proprietà che l'unione di tali aperti (che son "base") devono ricostruire un qualsiasi altro aperto $A in tau$, altrimenti contravverrebbero al concetto di essere base; invece mi pare di capire che base di intorni sono solo una classe di intorni che contengono x, senza la proprietà di essere "base" come sopra.
Primo assioma di numerabilità:
Uno spazio topologico $(X, τ)$ soddisfa il primo assioma di numerabilità se, per ogni suo punto, esiste una collezione numerabile di intorni aperti tale che ogni altro intorno contenga uno di essi.
OSS: nel primo assioma in effetti il prof non fa uso del concetto di "base di intorni" nel senso che basta la proprietà di inclusione.
PS: ho fatto un piccolo edit sulla "base di intorni".
:Definizione (base per la topologia):
Una base per $tau$ è un sottoinsieme di aperti t.c. $forallA in tau e A!=0$ sia unione di aperti della base
Definizione (intorno aperto):
Sia $(X, τ)$ uno spazio topologico e $x ∈ X$. Un intorno (aperto) di $x$ è un sottoinsieme aperto contenente $x$
In realtà una vera definizione di base di intorni non mi è stata data e l'ho letta da te nel tuo messaggio e mi sembravo potersi dedurre dai due concetti sopra... pensavo che la:
Definizione (base di intorni): (fosse)
Definiamo base di intorni aperti di un punto $x$ per uno spazio topologico $(X, τ)$ una collezione di intorni (aperti) che sono anche base per $tau$
Il fatto che siano "base" lo interpretavo come aventi la proprietà che l'unione di tali aperti (che son "base") devono ricostruire un qualsiasi altro aperto $A in tau$, altrimenti contravverrebbero al concetto di essere base; invece mi pare di capire che base di intorni sono solo una classe di intorni che contengono x, senza la proprietà di essere "base" come sopra.
Primo assioma di numerabilità:
Uno spazio topologico $(X, τ)$ soddisfa il primo assioma di numerabilità se, per ogni suo punto, esiste una collezione numerabile di intorni aperti tale che ogni altro intorno contenga uno di essi.
OSS: nel primo assioma in effetti il prof non fa uso del concetto di "base di intorni" nel senso che basta la proprietà di inclusione.
PS: ho fatto un piccolo edit sulla "base di intorni".
"indenzenblao":Non può essere questa la definizione di base di intorni, altrimenti ogni aperto non vuoto di $X$ conterrebbe il punto $x$, pensaci.
pensavo che la:
Definizione (base di intorni): (fosse)
Definiamo base di intorni aperti di un punto $x$ per uno spazio topologico $(X, τ)$ una collezione di intorni (aperti) che sono anche base per $tau$
Cerca la definizione di base di intorni, la puoi trovare anche su internet (Neighbourhood basis, in inglese). Quando avrai una definizione esatta potremo parlarne (non prima).
Non ci avevo pensato onestamente ma è verissimo, e nel frattempo l'ho cercata.
Come dicevo:
ma è verissimo, e nel frattempo l'ho cercata.Come dicevo:
invece mi pare di capire che base di intorni sono solo una classe di intorni che contengono x, senza la proprietà di essere "base" come sopra.ecco il malinteso
"indenzenblao":No, non è vero neanche questo. Pensaci di più.
mi pare di capire che base di intorni sono solo una classe di intorni che contengono x
Confrontando online credo in effetti di avere un dubbio sulla definizione di intorno, mi era stata data come:
1)Data dal prof.
Definizione (intorno aperto):
Sia (X,τ) uno spazio topologico e x∈X. Un intorno (aperto) di x è un sottoinsieme aperto contenente x
2) Vi è poi una definizione più allargata di intorno "generico" che non conoscevo dalle dispense:
un intorno di un punto x è un insieme V che contiene almeno un insieme aperto U∈T contenente x.
Ora ho un dubbio sull'intorno aperto e non tanto sull'intorno della seconda definizione. Insomma vorrei raginare un attimo sulla 1) data dal prof.
Avevo quindi interpretato che un intorno aperto fosse un qualsiasi aperto che conteneva x. Questo è vero?
O forse piuttosto un intorno aperto è un qualsiasi aperto che contiene un sottoinsieme anch'esso aperto contente x?
Questa parte sottolineata mi sembra coincidere col dire "un intorno aperto è un qualsiasi aperto che contenga x" in quanto ogni insieme è sottoinsieme di se stesso e quindi se io prendo un insieme aperto che contiene x ha in automatico il sottoinsieme se stesso contenuto che è un aperto => sarebbe un intorno aperto.
In altre parole: A è un intorno aperto <=(def)=> A è un aperto che contiene x <=> A è un insieme aperto contenente almeno un insieme aperto che contiene x, queste definizioni si equvarrebbero.
Dimostrandolo:
*A è un aperto che contiene x => A è un insieme aperto contenente almeno un insieme aperto che contiene x
è vero perché se io ho un aperto che contiene x, essendo aperto per la caratterizzazione degli aperti per ogni punto ho un intorno aperto A' che contiene x interamente incluso in A. Ora se affermo che A' è aperto per ipotesi ho che contiene $x in A'$ => A è un insieme aperto contente almento un insieme aperto A' che contiene x.
Oppure un secondo modo: se A è aperto che contiene x, A contiene se stesso sottoinsieme che contiene x e ciò verifica =>
Mi sembrano entrambe giuste per dimostrare "=>", vero?
*dall'altra parte:
A è un insieme aperto contenente almeno un insieme aperto che contiene x => A è un aperto che contiene x
Questo è vero perché se affermo che A è un insieme aperto contentente almeno un insieme aperto contenente x => A è aperto e contiene x banalmente
1)Data dal prof.
Definizione (intorno aperto):
Sia (X,τ) uno spazio topologico e x∈X. Un intorno (aperto) di x è un sottoinsieme aperto contenente x
2) Vi è poi una definizione più allargata di intorno "generico" che non conoscevo dalle dispense:
un intorno di un punto x è un insieme V che contiene almeno un insieme aperto U∈T contenente x.
Ora ho un dubbio sull'intorno aperto e non tanto sull'intorno della seconda definizione. Insomma vorrei raginare un attimo sulla 1) data dal prof.
Avevo quindi interpretato che un intorno aperto fosse un qualsiasi aperto che conteneva x. Questo è vero?
O forse piuttosto un intorno aperto è un qualsiasi aperto che contiene un sottoinsieme anch'esso aperto contente x?
Questa parte sottolineata mi sembra coincidere col dire "un intorno aperto è un qualsiasi aperto che contenga x" in quanto ogni insieme è sottoinsieme di se stesso e quindi se io prendo un insieme aperto che contiene x ha in automatico il sottoinsieme se stesso contenuto che è un aperto => sarebbe un intorno aperto.
In altre parole: A è un intorno aperto <=(def)=> A è un aperto che contiene x <=> A è un insieme aperto contenente almeno un insieme aperto che contiene x, queste definizioni si equvarrebbero.
Dimostrandolo:
*A è un aperto che contiene x => A è un insieme aperto contenente almeno un insieme aperto che contiene x
è vero perché se io ho un aperto che contiene x, essendo aperto per la caratterizzazione degli aperti per ogni punto ho un intorno aperto A' che contiene x interamente incluso in A. Ora se affermo che A' è aperto per ipotesi ho che contiene $x in A'$ => A è un insieme aperto contente almento un insieme aperto A' che contiene x.
Oppure un secondo modo: se A è aperto che contiene x, A contiene se stesso sottoinsieme che contiene x e ciò verifica =>
Mi sembrano entrambe giuste per dimostrare "=>", vero?
*dall'altra parte:
A è un insieme aperto contenente almeno un insieme aperto che contiene x => A è un aperto che contiene x
Questo è vero perché se affermo che A è un insieme aperto contentente almeno un insieme aperto contenente x => A è aperto e contiene x banalmente
No, non è vero neanche questo. Pensaci di più.detto ciò, dalla seconda definizione direi che una base di intorni è una classe di intorni di x, ossia una famiglia di insiemi che contengono aperti contenenti x
Tutto giusto tranne l'ultima riga.
Scrivi la definizione di base di intorni di un punto. Dall'inizio alla fine, non solo un pezzo.
"indenzenblao":Questa non è la definizione di base di intorni di un punto.
direi che una base di intorni è una classe di intorni di x, ossia una famiglia di insiemi che contengono aperti contenenti x
Scrivi la definizione di base di intorni di un punto. Dall'inizio alla fine, non solo un pezzo.
Ci ero quasi riuscito a non dire stupidaggini, mancava solo una riga , ma non ho potuto trattenermi dal farlo.
Una base di intorni per un punto x è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di x contiene uno di questi intorni
Quindi in modo più esplicito, una base di intorni è una classe di intorni di x, ossia una famiglia di insiemi che contengono aperti contenenti x, tali che un qualsiasi altro intorno di x a piacere contenga uno di questi della base.
Il prof nel suo primo assioma ha semplicemente detto questo senza scrivere esplicitamente base di intorni, non avendola definita.
Ora spero di aver detto bene.
Volevo solo chiederti un'ultima cosa, dato che hai parlato di "assioma della scelta" quando costruiamo gli $x_n$ e io non l'ho mai visto. Ho letto un po' al riguardo ma non rieesco bene a capire quando è necessario usarlo e quando no, in modo intuitivo, perché devo approfondire meglio. Però non capisco perché a noi serva in questo caso pergli $x_n$.
, ma non ho potuto trattenermi dal farlo.Una base di intorni per un punto x è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di x contiene uno di questi intorni
Quindi in modo più esplicito, una base di intorni è una classe di intorni di x, ossia una famiglia di insiemi che contengono aperti contenenti x, tali che un qualsiasi altro intorno di x a piacere contenga uno di questi della base.
Il prof nel suo primo assioma ha semplicemente detto questo senza scrivere esplicitamente base di intorni, non avendola definita.
Ora spero di aver detto bene.
Volevo solo chiederti un'ultima cosa, dato che hai parlato di "assioma della scelta" quando costruiamo gli $x_n$ e io non l'ho mai visto. Ho letto un po' al riguardo ma non rieesco bene a capire quando è necessario usarlo e quando no, in modo intuitivo, perché devo approfondire meglio. Però non capisco perché a noi serva in questo caso pergli $x_n$.
Sì adesso è giusto!
L'assioma della scelta dice che se ${U_i}_(i in I)$ è una famiglia di insiemi, tutti non vuoti, indiciati su un insieme $I$ di indici, esiste una funzione $f:I to bigcup_i U_i$ tale che $f(i) in U_i$ per ogni $i in I$.
Equivalentemente, l'assioma della scelta dice che se $U_i$ è un insieme non vuoto per ogni $i in I$, allora il prodotto cartesiano $prod_(i in I) U_i$ è non vuoto.
Se $I$ si assume numerabile, quello che ho scritto sopra si chiama assioma della scelta numerabile.
Esistono sistemi di assiomi che contengono l'assioma della scelta e altri che non lo contengono. In quelli che non lo contengono in genere succedono cose ben strane, vedi per esempio qui (no, non esistono alternative in italiano).
L'assioma della scelta dice che se ${U_i}_(i in I)$ è una famiglia di insiemi, tutti non vuoti, indiciati su un insieme $I$ di indici, esiste una funzione $f:I to bigcup_i U_i$ tale che $f(i) in U_i$ per ogni $i in I$.
Equivalentemente, l'assioma della scelta dice che se $U_i$ è un insieme non vuoto per ogni $i in I$, allora il prodotto cartesiano $prod_(i in I) U_i$ è non vuoto.
Se $I$ si assume numerabile, quello che ho scritto sopra si chiama assioma della scelta numerabile.
Esistono sistemi di assiomi che contengono l'assioma della scelta e altri che non lo contengono. In quelli che non lo contengono in genere succedono cose ben strane, vedi per esempio qui (no, non esistono alternative in italiano).
Grazie $oo$, che figata.
Chissà perché ho scelto ingegneria. Mi sa che il prof di analisi I dandoci queste cose in pasto vuole farci convertire...
Chissà perché ho scelto ingegneria
. Mi sa che il prof di analisi I dandoci queste cose in pasto vuole farci convertire...
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