Funzione e continuità con aperti (pt2)
Studiando ho trovato questa proposizione non dimostrata:
$f : (X1, τ1) → (X2, τ2)$ è continua sse e' continua per successioni. (con (X, τ) spazio topologico) se vale il I assioma di numerabilità, cioè quello che per ogni punto esiste una collezione numerabile di intorni
aperti tale che ogni altro intorno contenga uno di essi.
Ho provato a dimostrarla ma non riesco in un verso.
In particolare =>
Non mi sembra però venire <=
Ho provato ad esempio a prendere $x in f^-1(V) $ e siccome vale il pirmo assioma $∃{B_n}$ tale per cui x sia elemento di ogni Bn.
Poi ho pensato che convergendo $x_n->x$ ho quindi per ogni aperto che esiste N t.c. $x_n$ sta in quell'aperto, dunque posso dire ad esempio che per $n>=k$ $x_k in B_k$
poi ho provato a ragionare su $f(x_n)->f(x)$ ma on ho ricavato granché:
ho poi porvato per assurdo ad esempio dicendo $f^-1(V)$ non è aperto, dunque deve esistere un punto x t..c. per ongi intorno U di x si ha che $U$ intersecato $f^_1(V)={}$
A questo punto essendo valido il primo assioma ho la cllezine di $U_k$ intorni numerabili, quindi per ogni $U_k$ esiste N t.c $x_n in U_k$ ma anche qui poi mi bloccoperché non trovo valide idee.
Dunque mi chiedo, se la prima è gista come cavolo si dimostra la seconda <= ci ragiono da molto ma non riesco
$f : (X1, τ1) → (X2, τ2)$ è continua sse e' continua per successioni. (con (X, τ) spazio topologico) se vale il I assioma di numerabilità, cioè quello che per ogni punto esiste una collezione numerabile di intorni
aperti tale che ogni altro intorno contenga uno di essi.
Ho provato a dimostrarla ma non riesco in un verso.
In particolare =>
Non mi sembra però venire <=
Ho provato ad esempio a prendere $x in f^-1(V) $ e siccome vale il pirmo assioma $∃{B_n}$ tale per cui x sia elemento di ogni Bn.
Poi ho pensato che convergendo $x_n->x$ ho quindi per ogni aperto che esiste N t.c. $x_n$ sta in quell'aperto, dunque posso dire ad esempio che per $n>=k$ $x_k in B_k$
poi ho provato a ragionare su $f(x_n)->f(x)$ ma on ho ricavato granché:
ho poi porvato per assurdo ad esempio dicendo $f^-1(V)$ non è aperto, dunque deve esistere un punto x t..c. per ongi intorno U di x si ha che $U$ intersecato $f^_1(V)={}$
A questo punto essendo valido il primo assioma ho la cllezine di $U_k$ intorni numerabili, quindi per ogni $U_k$ esiste N t.c $x_n in U_k$ ma anche qui poi mi bloccoperché non trovo valide idee.
Dunque mi chiedo, se la prima è gista come cavolo si dimostra la seconda <= ci ragiono da molto ma non riesco
Risposte
"indenzenblao":
Grazie $oo$, che figata.
Chissà perché ho scelto ingegneria. Mi sa che il prof di analisi I dandoci queste cose in pasto vuole farci convertire...
Ad ingegneria è inutile o eccessivo introdurre in analisi 1 gli assiomi di numerabilità che forse nemmeno in un primo corso di analisi per matematici vengono tirati in ballo (sebbene non vi siano difficoltà di ordine concettuale o altro).
Volevo chiedervi una cosa riguardo la base di intorni:
non ho capito se "è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di x contiene uno di questi intorni", oppure basa che sia "un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno (quindi sia aperti che chiusi) di x contiene uno di questi intorni". Nel primo caso mi pare che se verifico che un chiuso (intorno) di x non contiene però nessuno di quegli intorni di base non ci siano problemi se tutti gli aperti qualsiasi invece hanno almeno un intorno di base contenuto, nel secondo caso invece, se questo accadesse, esiterebbe nel fatto che non è una base di intorni.
Una base di intorni per un punto x è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di x contiene uno di questi intorni
non ho capito se "è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di x contiene uno di questi intorni", oppure basa che sia "un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno (quindi sia aperti che chiusi) di x contiene uno di questi intorni". Nel primo caso mi pare che se verifico che un chiuso (intorno) di x non contiene però nessuno di quegli intorni di base non ci siano problemi se tutti gli aperti qualsiasi invece hanno almeno un intorno di base contenuto, nel secondo caso invece, se questo accadesse, esiterebbe nel fatto che non è una base di intorni.
"gandolfo_m":Queste due cose che hai detto sono equivalenti. Se ogni intorno aperto contiene un aperto della base allora ogni intorno contiene un aperto della base e viceversa. Inoltre è strano scrivere "sia aperti che chiusi" perché ci possono essere intorni che non sono né aperti né chiusi.
Volevo chiedervi una cosa riguardo la base di intorni:
Una base di intorni per un punto x è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di x contiene uno di questi intorni
non ho capito se "è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di x contiene uno di questi intorni", oppure basta che sia "un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno (quindi sia aperti che chiusi) di x contiene uno di questi intorni".
"gandolfo_m":
Volevo chiedervi una cosa riguardo la base di intorni:
Una base di intorni per un punto x è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di x contiene uno di questi intorni
non ho capito se "è un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno aperto di x contiene uno di questi intorni", oppure basa che sia "un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno (quindi sia aperti che chiusi) di x contiene uno di questi intorni". Nel primo caso mi pare che se verifico che un chiuso (intorno) di x non contiene però nessuno di quegli intorni di base non ci siano problemi se tutti gli aperti qualsiasi invece hanno almeno un intorno di base contenuto, nel secondo caso invece, se questo accadesse, esiterebbe nel fatto che non è una base di intorni.
Per intorno di un punto normalmente s'intende un qualunque aperto che contenga il punto, ma se s'intende un qualunque sottoinsieme che contenga un aperto che contiene il punto, allora dire, come nel quotato, che l'intorno è aperto, non sarebbe comunque errato perché un intorno chiuso o qualunque intorno conterrebbe comunque un intorno aperto che contiene il punto.
Non so perché alcuni autori preferiscano una definizione di intorno cosi, ridondante? Non saprei come definirla, forse torna conveniente in altri casi ma qui genera solo confusione.
PS
Mi sono accorto solo ora che Gandolfo aveva già ricevuto risposta, concordo con quella di Martino.
Se ogni intorno aperto contiene un aperto della base allora ogni intorno contiene un aperto della base e viceversa
mi sembra che entrambi concordiate su questo, ma non riesco a vedere perché. Mi sembra più forte dire che ogni aperto contenga uno di quegli intorni della base ripetto al dire un qualunque intorno (non solo aperto) contenga un intorno della base. Come si mostra?
In effetti un errore che stavo facendo era pensare: "un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno chiuso di x contiene uno di questi intorni", ma questa non equivale alle precedenti
"gandolfo_m":Non è più forte, è più debole (o meglio, è apparentemente più debole: in realtà è equivalente), perché ogni intorno aperto è, in particolare, un intorno. Quindi se sai che una certa cosa vale per ogni intorno, in particolare varrà per ogni intorno aperto.
Mi sembra più forte dire che ogni aperto contenga uno di quegli intorni della base ripetto al dire un qualunque intorno (non solo aperto) contenga un intorno della base. Come si mostra?
Anche il viceversa è vero: se ogni intorno aperto contiene un aperto di base, allora ogni intorno contiene un aperto di base, perché se prendiamo un intorno qualsiasi $I$, questo conterrà (per definizione di intorno) un intorno aperto $A$ che per ipotesi contiene un intorno aperto $U$ di base. Quindi $I$ contiene $A$ e $A$ contiene $U$. Quindi $I$ contiene $U$.
Grazie ci ero arrivato proprio ora e mi conferma quello che pensavo. Tutti questi intorni mi avevano confuso.
In ogni caso è falso che: "un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno chiuso di x contiene uno di questi intorni" equivale a una delle due sopra. Su questo invece non ci piove, inizialmente era questa idea che volevo dire. Ma ho fatto un pasticcio.
Per quanto riguarda l'apparente forte e debole, hai ragione tu ovviamente. Ho invertito la frase
In ogni caso è falso che: "un insieme di intorni tale che qualsiasi intorno chiuso di x contiene uno di questi intorni" equivale a una delle due sopra. Su questo invece non ci piove, inizialmente era questa idea che volevo dire. Ma ho fatto un pasticcio.
Per quanto riguarda l'apparente forte e debole, hai ragione tu ovviamente. Ho invertito la frase
Potrei farvi un'altra domanda? In questi giorni questa discussione mi ha spinto a leggere un po' di topologia (di cui non so praticamente nulla avendo fatto solo quella reale e quindi indotta dalla metrica)
Mi chiedevo se ci fosse anche in topologia generale una caratterizzazione degli aperti di questo tipo:
(premesso che un aperto è un sottoinsieme della topologia $tau$ per definizione)
A è aperto <=> per ogni punto in A esiste intorno (aperto? o in generale) interamente contenuto in A.
Esiste questa caratterizzazione? Che nella tpologia reale diventa definizione di insieme aperto. In rete non ho trovato nulla, chiedo a voi
Mi chiedevo se ci fosse anche in topologia generale una caratterizzazione degli aperti di questo tipo:
(premesso che un aperto è un sottoinsieme della topologia $tau$ per definizione)
A è aperto <=> per ogni punto in A esiste intorno (aperto? o in generale) interamente contenuto in A.
Esiste questa caratterizzazione? Che nella tpologia reale diventa definizione di insieme aperto. In rete non ho trovato nulla, chiedo a voi
Si ed è veramente banale, in quando gli intorni di un punto si definiscono come gli insiemi che contengono un aperto che contiene quel punto.
Sì da una parte è banale, sono stato poco specifico su cosa non mi venisse. Però dall'altra <= c'è qualcosa che non mi torna nel senso che notavo che se prendo ogni x in A sicuramente per Hp ho intorni aperti di quel punto, quindi con unioni infinite di quegli aperti mi pare ricostruire tutto A. Però non riesco a renderlo formale questo ragionamento.
"gandolfo_m":
..... quindi con unioni infinite di quegli aperti mi pare ricostruire tutto A. Però non riesco a renderlo formale questo ragionamento.
Gli aperti sono tali SSE si verifica quanto da te scritto. Per formalizzarla devi partire dai concetti di base che genera la topologia. Nei casi trattati in analisi 1, gli spazi euclidei, la topologia su questi spazi è quella generata dagli intorni sferici, che costituiscono la base di quella che, comunemente, è nota col nome di topologia standard.
Gli aperti sono unioni qualsiasi degli elementi della base.
Certo che si, l'unione infinita è acora aperto ed è chiaro. però fallisco nel formalizzare che unendo tutti i punti di A e loro intorni ritrovo A, che è ciò che mi serve. E' banale intuitivamente ma non so come fare in modo generico per una qualunque topologia. Questo stavo chiedendo
Se $A$ è un aperto allora per ogni $x in A$ esiste un aperto di base $B_x$ tale che $x in B_x subseteq A$.
Prova a dimostrare che
$bigcup_(x in A) B_x = A$.
Devi mostrare le due inclusioni. Sono entrambe molto facili.
Prova a dimostrare che
$bigcup_(x in A) B_x = A$.
Devi mostrare le due inclusioni. Sono entrambe molto facili.
"Martino":
Se $A$ è un aperto allora per ogni $x in A$ esiste un aperto di base $B_x$ tale che $x in B_x subseteq A$.
devi scusarmi ma temo di non aver già capito questo.
Io vorrei dimostrare:
A è aperto <=> per ogni punto in A esiste intorno (qui non ho capito se deve essere aperto o uno qualsiasi) interamente contenuto in A.
ora:
=>) se A è aperto, prendo un suo qualsiasi punto x e quindi: "A è un aperto che contiene x => A è un insieme aperto contenente almeno un insieme aperto che contiene x" (per quanto scritto nelle pagine prima).
Questo è un modo. A me sembra che la tua dimostri questa parte, cioè dici: prendo A aperto, in quanto tale se esiste una base questo aperto è costituito da quelli di una base $B$ poi dici se $x inA$ che è unione di intorni base almeno un insieme dell'unione deve contenere x, sia $B_x$ un tale insieme, ed è interamente contenuto in A cvd. Dici questo? Non ho capito se era questo
Poi non comprendo come si connetta l'unione a questo discorso e la doppia inclusione. Se dimostro l'uguaglianza ho che l'unione di insiemi
So che sono stupido, mi spiegheresti ancora? Perché vorrei comprendere il tuo suggerimento
Quindi:
<=) per questa non ho capito come in questo mi aiuti il tuo quote. Perché tu parti da A aperto ma io non la ho come ipotesi in questo secondo verso.
Comunque per la doppia inclusione farei così:
=>
$x in bigcup_(x in A) B_x <=> ∃ x inA$ per definizione e quindi $ => x in A$ (dato che per come l'hai definito è l'unione di tutti i $B_x$ con $x in A$
<=
$x in A$, ma $x in bigcup_(x in A) B_x$ e per come è definito è costituito da elementi $B_x$ che contengono x e quindi $X in B$
Grazie!
Scusa mi sono espresso male.
Supponiamo che per ogni $x in A$ esista un intorno $I_x$ di $x$ tutto contenuto in $A$. Mostriamo che $A$ è aperto.
Dato $x in A$, per definizione di intorno esiste un aperto $B_x$ tale che $x in B_x subseteq I_x$. Siccome ogni unione di aperti è un aperto, per mostrare che $A$ è aperto basta mostrare che $bigcup_(x in A) B_x = A$.
Ora l'inclusione $bigcup_(x in A) B_x subseteq A$ è ovvia perché ogni $B_x$ è contenuto in $A$ (infatti $B_x subseteq I_x subseteq A$) e quindi anche l'unione di tutti i $B_x$ (con $x in A$) è contenuta in $A$.
L'inclusione $A subseteq bigcup_(x in A) B_x$ è anch'essa ovvia perché se prendiamo un qualsiasi $a in A$ si ha $a in B_a subseteq bigcup_(x in A) B_x$ e quindi $a in bigcup_(x in A) B_x$.
Supponiamo che per ogni $x in A$ esista un intorno $I_x$ di $x$ tutto contenuto in $A$. Mostriamo che $A$ è aperto.
Dato $x in A$, per definizione di intorno esiste un aperto $B_x$ tale che $x in B_x subseteq I_x$. Siccome ogni unione di aperti è un aperto, per mostrare che $A$ è aperto basta mostrare che $bigcup_(x in A) B_x = A$.
Ora l'inclusione $bigcup_(x in A) B_x subseteq A$ è ovvia perché ogni $B_x$ è contenuto in $A$ (infatti $B_x subseteq I_x subseteq A$) e quindi anche l'unione di tutti i $B_x$ (con $x in A$) è contenuta in $A$.
L'inclusione $A subseteq bigcup_(x in A) B_x$ è anch'essa ovvia perché se prendiamo un qualsiasi $a in A$ si ha $a in B_a subseteq bigcup_(x in A) B_x$ e quindi $a in bigcup_(x in A) B_x$.
Chiarssimo grazie!
Mi ero tra l'altro incasinato sulla prima inclusione perché stavo provando a dimostrarlo sapendo che
$bigcup_(x in A) B_x={b|∃x in A:b in B_x}$
quindi volevo dire che $m in bigcup_(x in A) B_x <=> ∃x in A : m in B_x$ e quindi essendo ogni m per x opportuna è tale che $m in B_x⊆I_x⊆A$ e quindi ogni $m in A$, potrebbe andar bene? anche se era molto più facile perché ci si poteva accorgere subito.
Mi ero tra l'altro incasinato sulla prima inclusione perché stavo provando a dimostrarlo sapendo che
$bigcup_(x in A) B_x={b|∃x in A:b in B_x}$
quindi volevo dire che $m in bigcup_(x in A) B_x <=> ∃x in A : m in B_x$ e quindi essendo ogni m per x opportuna è tale che $m in B_x⊆I_x⊆A$ e quindi ogni $m in A$, potrebbe andar bene? anche se era molto più facile perché ci si poteva accorgere subito.
È più chiaro se dimostri le due inclusioni separatamente.
"gandolfo_m":
Chiarssimo grazie!
Mi ero tra l'altro incasinato sulla prima inclusione perché stavo provando a dimostrarlo sapendo che
$bigcup_(x in A) B_x={b|∃x in A:b in B_x}$
quindi volevo dire che $m in bigcup_(x in A) B_x <=> ∃x in A : m in B_x$ e quindi essendo ogni m per x opportuna è tale che $m in B_x⊆I_x⊆A$ e quindi ogni $m in A$, potrebbe andar bene? anche se era molto più facile perché ci si poteva accorgere subito.
Sì, sì ovviamente devo dimostrare le 2 inclusioni, questa voleva solo essere solo per $bigcup_(x in A) B_x subseteq A$ e volevo capire se come alternativa alla tua potesse andare (semlicemente perché era la prima che mi era venuta in mente
)Poi ovviamente va dimostrata l'altra parte e mi è chira.
Sì va bene.
Ti ringrazio, sei sempre strachiaro e gentilissimo!
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