Funzione e continuità con aperti (pt2)

[indenzenblao]

Studiando ho trovato questa proposizione non dimostrata:
$f : (X1, τ1) → (X2, τ2)$ è continua sse e' continua per successioni. (con (X, τ) spazio topologico) se vale il I assioma di numerabilità, cioè quello che per ogni punto esiste una collezione numerabile di intorni
aperti tale che ogni altro intorno contenga uno di essi.

Ho provato a dimostrarla ma non riesco in un verso.

In particolare =>

Questo mi sembra sempre vero a prescindere dal I assioma, infatti:

Io so per Hp che ${x_n}$ in $X_1$ convergente tale che $x_n->x$
Inoltre per conitnuità di $f$ ogni intorno di f(x) che è un aperto di $X_2$ è tale che $f^-1(V)$ è aperto in $tau_1$ contenente x. Come tale dato che xn converge a x di tale intorno esiste $N$ t.c. $forall n > N, x_n in f^-1(V)$ e dunque $f(x_n)in V$.
ma ciò vuol dire che esiste N t.c $forall n > N, f(x_n) in V$

Non mi sembra però venire <=

Ho provato ad esempio a prendere $x in f^-1(V) $ e siccome vale il pirmo assioma $∃{B_n}$ tale per cui x sia elemento di ogni Bn.
Poi ho pensato che convergendo $x_n->x$ ho quindi per ogni aperto che esiste N t.c. $x_n$ sta in quell'aperto, dunque posso dire ad esempio che per $n>=k$ $x_k in B_k$
poi ho provato a ragionare su $f(x_n)->f(x)$ ma on ho ricavato granché:

ho poi porvato per assurdo ad esempio dicendo $f^-1(V)$ non è aperto, dunque deve esistere un punto x t..c. per ongi intorno U di x si ha che $U$ intersecato $f^_1(V)={}$

A questo punto essendo valido il primo assioma ho la cllezine di $U_k$ intorni numerabili, quindi per ogni $U_k$ esiste N t.c $x_n in U_k$ ma anche qui poi mi bloccoperché non trovo valide idee.


Dunque mi chiedo, se la prima è gista come cavolo si dimostra la seconda <= ci ragiono da molto ma non riesco

[Martino]

Prego!