Formula Autovettore?
Salve a tutti non riesco a capire nella formula degli autovettori come si passa da questa forma
A*v= Lambda * v
dove Lamba è l autovalore
e v è l autovettore
a questa forma
(A-Lambda *I)*v=0
io avrei portato tutto a sinistra e messo in evidenza la v.
invece da dove esce fuori la matrice identità I ?
Grazie a tutti
A*v= Lambda * v
dove Lamba è l autovalore
e v è l autovettore
a questa forma
(A-Lambda *I)*v=0
io avrei portato tutto a sinistra e messo in evidenza la v.
invece da dove esce fuori la matrice identità I ?
Grazie a tutti
Risposte
Perché matematicamente non ha senso "mettere in evidenza $v$" come dici tu. Il simbolo di moltiplicazione in $\lambda * v$ indica il prodotto per uno scalare mentre in $A * v$ indica il prodotto (tra matrici) righe per colonne. Osservando che $v = I * v$ puoi utilizzare la distributività rispetto alla somma del prodotto di matrici.
Potresti farmi vedere tutti i passaggi? Grazie
ti do la definizione di autovalore e di autovettori..come me l'aveva data il mio prof a lezione
Data una matrice quadrata $A$ sono detti autovettori di $A$ tutti i vettori $\ul (v)$
che risolvono l'equazione $ A \ul(v)= \lambda \ul(v) $
ove $\lambda$ è detto autovettore relativo all'autovettore $\ul(v)$ ($\ul(v)$ è l'autovettore relativo all'autovalore $\lambda$)
per determinare gli autovettori, hai bisogno degli autovalori
gli autovalori si calcolano $ det(A-\lambda I_n)=0 $
dopo per calcolare gli autovettori devi fare $(A-\lambda_0 I_n)\ul(v)=0 $ (ammettendo che $\lambda_0$ sia un autovalore)
per esempio calcoliamo gli autovalori e i singoli autovettori di $ A=( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $
calcoliamo $ det( ( 1-\lambda , 1 , 0 ),( 1 , -\lambda , 1 ),( 0 , 1 , 1-\lambda ) ) $
svolgendo i conti ti trovi
$ (1-\lambda)(\lambda^2-\lambda-2)=0\to (1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+1)=0 $
gli autovalori sono $ \lambda_1=1 \vee \lambda_2=2\vee \lambda_3=-1 $
gli autovettori relativi a $\lambda_1=1$, devo risolvere come ho detto sopra il sistema $(A-\lambda_1 I_3)\ul(v)=0$
ove $\ul(v)=((x),(y),(z))$
quindi si ha $ ( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) )((x),(y),(z))=((0),(0),(0))\to { ( x=0 ),( x-y+z=0 ),( y=0 ):} $
si ha che $ ((x),(0),(-x))=x((1),(0),(-1)) $ ..cioè tutti i multipli di $ ((1),(0),(-1)) $
stessa cosa fai con gli altri autovalori!..
spero ti sia chiaro..
Data una matrice quadrata $A$ sono detti autovettori di $A$ tutti i vettori $\ul (v)$
che risolvono l'equazione $ A \ul(v)= \lambda \ul(v) $
ove $\lambda$ è detto autovettore relativo all'autovettore $\ul(v)$ ($\ul(v)$ è l'autovettore relativo all'autovalore $\lambda$)
per determinare gli autovettori, hai bisogno degli autovalori
gli autovalori si calcolano $ det(A-\lambda I_n)=0 $
dopo per calcolare gli autovettori devi fare $(A-\lambda_0 I_n)\ul(v)=0 $ (ammettendo che $\lambda_0$ sia un autovalore)
per esempio calcoliamo gli autovalori e i singoli autovettori di $ A=( ( 1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $
calcoliamo $ det( ( 1-\lambda , 1 , 0 ),( 1 , -\lambda , 1 ),( 0 , 1 , 1-\lambda ) ) $
svolgendo i conti ti trovi
$ (1-\lambda)(\lambda^2-\lambda-2)=0\to (1-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+1)=0 $
gli autovalori sono $ \lambda_1=1 \vee \lambda_2=2\vee \lambda_3=-1 $
gli autovettori relativi a $\lambda_1=1$, devo risolvere come ho detto sopra il sistema $(A-\lambda_1 I_3)\ul(v)=0$
ove $\ul(v)=((x),(y),(z))$
quindi si ha $ ( ( 0 , 1 , 0 ),( 1 , -1 , 1 ),( 0 , 1 , 0 ) )((x),(y),(z))=((0),(0),(0))\to { ( x=0 ),( x-y+z=0 ),( y=0 ):} $
si ha che $ ((x),(0),(-x))=x((1),(0),(-1)) $ ..cioè tutti i multipli di $ ((1),(0),(-1)) $
stessa cosa fai con gli altri autovalori!..
spero ti sia chiaro..
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