Forme quadratiche
Quando devo studiare il segno di una forma quadratica,come devo comportarmi?
Il mio libro non e' molto chiaro in merito,mi ha fornito le 5 definizioni e mi lascia questo esempio:
$Q(x)=x^2+4xy+y^2$
Mi dice che $Q((1),(0))=a_(11)=1>0$ e $Q((1),(-1))=-2<0$
Per cui Q e' non definita!
Ma perché ha posto $Q((1),(1)))$ e $Q((1),(-1))$ non ci arrivo!
Riuscite a spiegarmi cosa ha fatto!?
Il mio libro non e' molto chiaro in merito,mi ha fornito le 5 definizioni e mi lascia questo esempio:
$Q(x)=x^2+4xy+y^2$
Mi dice che $Q((1),(0))=a_(11)=1>0$ e $Q((1),(-1))=-2<0$
Per cui Q e' non definita!
Ma perché ha posto $Q((1),(1)))$ e $Q((1),(-1))$ non ci arrivo!
Riuscite a spiegarmi cosa ha fatto!?
Risposte
Ha semplicemente preso due vettori per mostrare che $Q$ non è definita.
Se $Q$ fosse definita positiva allora sarebbe $Q(x)>=0$ per ogni $x$, mentre se $Q$ fosse definita negativa allora sarebbe $Q(x)<=0$ per ogni $x$.
Visto che, in virtù degli esempi, non si verifica nessuna delle due possibilità, $Q$ non è definita.
Se $Q$ fosse definita positiva allora sarebbe $Q(x)>=0$ per ogni $x$, mentre se $Q$ fosse definita negativa allora sarebbe $Q(x)<=0$ per ogni $x$.
Visto che, in virtù degli esempi, non si verifica nessuna delle due possibilità, $Q$ non è definita.
Grazie mille cirasa!!!!!
You're welcome 
Ma se io ho la seguente forma quadratica: $Q((x),(y),(z))=3x^2-2sqrt(3)xy+5y^2+2z^2$
Come sne studio il segno?che passi devo compiere?
Come sne studio il segno?che passi devo compiere?
Se vuoi stare tranquill*, ne calcoli la segnatura cercando una base ortogonale.
Se ha segnatura $(3,0)$ è definita positiva, se ha segnatura $(0,3)$ è definita negativa. Negli altri casi è indefinita.
Oppure se vuoi sapere solo se è definita o meno, ci sono caratterizzazioni mediante la matrice associata. Non so se ti sono state raccontate a lezione...
Se ha segnatura $(3,0)$ è definita positiva, se ha segnatura $(0,3)$ è definita negativa. Negli altri casi è indefinita.
Oppure se vuoi sapere solo se è definita o meno, ci sono caratterizzazioni mediante la matrice associata. Non so se ti sono state raccontate a lezione...
No..ma come trovo la segnatura?
So che è non è educato rispondere ad una domanda con un'altra domanda, ma ti chiedo: cos'è la segnatura? Sai la sua definizione?
Allora nel mio programma non c'e nessun cenno alla segnatura,ma si parla di segno(non so se sia la stessa cosa!) per cui una f.q. E':
• definita positiva se Q(x)>0
• definita negativa se Q(x)<0
• semidefinita positiva se Q(x)>=0 esiste X diverso da nullo|Q(x)=0
• semidefinita negativa se Q(x)<=0
Questo e' tutto ciò c'e da noi e' stato spiegato e che abbia desinenza "segn"
• definita positiva se Q(x)>0
• definita negativa se Q(x)<0
• semidefinita positiva se Q(x)>=0 esiste X diverso da nullo|Q(x)=0
• semidefinita negativa se Q(x)<=0
Questo e' tutto ciò c'e da noi e' stato spiegato e che abbia desinenza "segn"
Ah, ok, quindi non credo che tu studi matematica, altrimenti avresti sentito parlare di segnatura...
E solitamente per stabilire se una forma quadratica è (semi)definita positiva/negativa non avete mai utilizzato risultati/teoremi/caratterizzazioni?
Per esempio, calcolando i minori principali della matrice associata. Non ti ricorda niente?
Ti sto facendo tutte queste domande perché non vorrei darti tecniche nuove che finiscono solo per confonderti le idee.
E solitamente per stabilire se una forma quadratica è (semi)definita positiva/negativa non avete mai utilizzato risultati/teoremi/caratterizzazioni?
Per esempio, calcolando i minori principali della matrice associata. Non ti ricorda niente?
Ti sto facendo tutte queste domande perché non vorrei darti tecniche nuove che finiscono solo per confonderti le idee.
Si il teorema con i minori si!!!non faccio matematica,ma ingeg.!
Devo scrivermi la matrice assoc alla f.quadratica,e poi calcolare il polinomio caratteristico vero?ma i minori devo calcolarli nel pol. Caratteristico vero?riesci a spiegarmi la procedura nell' esempio che t ho postato?grazie del supporto!:)
Devo scrivermi la matrice assoc alla f.quadratica,e poi calcolare il polinomio caratteristico vero?ma i minori devo calcolarli nel pol. Caratteristico vero?riesci a spiegarmi la procedura nell' esempio che t ho postato?grazie del supporto!:)
Spero che tu ti stia riferendo allo stesso teorema a cui sto pensando io.
Bene, dovresti scrivere la matrice associata alla forma quadratica.
Il teorema ti dice che se i minori principali di testa (qualcuno li chiama "minori Nord-Ovest") della matrice associata sono tutti positivi (risp. strettamente positivi), allora la matrice è semidefinita (risp. definita) positiva.
Come vedi, non si fa menzione al polinomio caratteristico.
A questo punto dobbiamo scrivere la matrice associata alla forma quadratica. Dopo di che, dobbiamo calcolare i minori principali di testa.
Forza, al lavoro
Bene, dovresti scrivere la matrice associata alla forma quadratica.
Il teorema ti dice che se i minori principali di testa (qualcuno li chiama "minori Nord-Ovest") della matrice associata sono tutti positivi (risp. strettamente positivi), allora la matrice è semidefinita (risp. definita) positiva.
Come vedi, non si fa menzione al polinomio caratteristico.
A questo punto dobbiamo scrivere la matrice associata alla forma quadratica. Dopo di che, dobbiamo calcolare i minori principali di testa.
Forza, al lavoro
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