Forma quadratica
che cosa si intende precisamente per "forma quadratica"? inoltre ho questo esercizio che non so come svolgere:
Sia f: R3 $ rarr $ R, la forma quadratica definita da g(X1,X2,X3)= 3X1^2 + 3X2^2 + X3^2 - 2X1X2 - 2X1X3 -2X2X3.
a) si scriva la matrice A $ in $ 3R3 che esprime g nella base canonica.
b) si determinino gli indici di nullità (i0), di positività (i+) e di negatività (i-) della forma di g, e si specifichi se q è degenere.
c) si scriva una matrice ortogonale N $ in $ 3R3 tale che N-1 A N sia diagonale.
inoltre non ho capito bene questi indici cosa siano..
come si risolve la forma quadratica per passare a costruire la matrice A?
Sia f: R3 $ rarr $ R, la forma quadratica definita da g(X1,X2,X3)= 3X1^2 + 3X2^2 + X3^2 - 2X1X2 - 2X1X3 -2X2X3.
a) si scriva la matrice A $ in $ 3R3 che esprime g nella base canonica.
b) si determinino gli indici di nullità (i0), di positività (i+) e di negatività (i-) della forma di g, e si specifichi se q è degenere.
c) si scriva una matrice ortogonale N $ in $ 3R3 tale che N-1 A N sia diagonale.
inoltre non ho capito bene questi indici cosa siano..
come si risolve la forma quadratica per passare a costruire la matrice A?
Risposte
un pochino di teoria?
si ma il mio problema è proprio passare dall'applicazione alla matrice...
Hai la nozione di forma bilineare simmetrica?
allora riguardando gli appunti ho provato a scrivere la matrice...
A= $ ( X1 , X2 , X3 ) $ $ ( ( 3 , -2 , -2 ),( -2 , 3 , -2 ),( -2 , -2 , 1 ) ) $ potrebbe essere questa??
A= $ ( X1 , X2 , X3 ) $ $ ( ( 3 , -2 , -2 ),( -2 , 3 , -2 ),( -2 , -2 , 1 ) ) $ potrebbe essere questa??
"zompetta":scusa non ho scritto a destra della matrice il vettore colonna di X1,X2,X3
allora riguardando gli appunti ho provato a scrivere la matrice...
A= $ ( X1 , X2 , X3 ) $ $ ( ( 3 , -2 , -2 ),( -2 , 3 , -2 ),( -2 , -2 , 1 ) ) $ potrebbe essere questa??
Sì lo è.
In poche parole detta $g : RR^3\times RR^3 -> RR$ la forma bilineare simmetrica associata a $q$. Fissata $B={e_1,e_2,e_3}$ base di $RR^3$ la matrice $A=(a^i_j)$ dove $a^i_j = g(e_i,e_j) $
In poche parole detta $g : RR^3\times RR^3 -> RR$ la forma bilineare simmetrica associata a $q$. Fissata $B={e_1,e_2,e_3}$ base di $RR^3$ la matrice $A=(a^i_j)$ dove $a^i_j = g(e_i,e_j) $
ora gli indici come si calcolano?? devo vedere gli autovalori??
devi diagonalizzare $A$. Cioè trovare una base ortogonale di $RR^3$ rispetto a $g$
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