Forma di Jordan
Salve a tutti!!! Siccome in rete non riesco a trovare qualche risorsa per esercitarmi nelle forme di Jordan, provo a postare qui un esercizio perchè mi mostriate se possibile dove sono i miei eventuali errori (se qualcuno conosce una buona risorsa per allenarmi su Jordan indichi pure!)
Ho la matrice
$A_f = ((1,0,0,0),(0,2,0,1),(1,0,0,0),(-1,0,1,0))$ che mi rappresenta una funzione $f:RR^4 -> RR^4$ il cui Rango è evidentemente $rg((1,0,0),(-1,1,0),(0,0,1)) = 3$ che è il minore ottenuto eliminando 3 riga (=prima) e 2 colonna (=2*quarta)
Quindi $dim(Im(f)) = rg(A) = 3 \rArr dim(Ker(f))= 4-3 = 1$
Adesso per trovare Jordan mi calcolo gli autovalori, ovvero le radici di:
$det(A-xI_4) = |(1-x,0,0,0),(0,2-x,0,1),(1,0,-x,0),(-1,0,1,-x)| = (1-x)|(2-x,0,1),(0,-x,0),(0,1,-x)| = (1-x)(2-x)|(-x,0),(1,-x)| = x^2(1-x)(2-x)$
Quindi gli autovalori sono:
Ho la matrice
$A_f = ((1,0,0,0),(0,2,0,1),(1,0,0,0),(-1,0,1,0))$ che mi rappresenta una funzione $f:RR^4 -> RR^4$ il cui Rango è evidentemente $rg((1,0,0),(-1,1,0),(0,0,1)) = 3$ che è il minore ottenuto eliminando 3 riga (=prima) e 2 colonna (=2*quarta)
Quindi $dim(Im(f)) = rg(A) = 3 \rArr dim(Ker(f))= 4-3 = 1$
Adesso per trovare Jordan mi calcolo gli autovalori, ovvero le radici di:
$det(A-xI_4) = |(1-x,0,0,0),(0,2-x,0,1),(1,0,-x,0),(-1,0,1,-x)| = (1-x)|(2-x,0,1),(0,-x,0),(0,1,-x)| = (1-x)(2-x)|(-x,0),(1,-x)| = x^2(1-x)(2-x)$
Quindi gli autovalori sono:
- x = 0 molt.algb. =2 -> molt.geo. = dim(ker(f)) = 1
x = 1 m.a. = m.g. = 1
x= 2 m.a. = m.g. = 1
[/list:u:1af6l2ho]
Ora, fatto tutto sto sproloquio veniamo al punto in cui meno sono convinto... scrivere la matrice.
Se ho ben capito la m.a. mi dice quante volte l'autovalore va scritto e la geometrica in quanti blocchi...
Quindi avrò un blocco 2x2 $((0,1),(0,0))$, uno con un solo 2 e uno con un solo 1, in matrice
$J_f = ((0,1,0,0),(0,0,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,2))$
E' giusto??
Risposte
"enpires":
E' giusto??
Sì
Allora posso arrischiarmi a fare st'esame di algebra Grazie mille!!
p.s. Pisa?? anche io... Ingegneria
Grazie mille!!p.s. Pisa?? anche io... Ingegneria
"enpires":
Allora posso arrischiarmi a fare st'esame di algebra
p.s. Pisa?? anche io... Ingegneria
Si fa la forma di Jordan a ingegneria? I ragazzi che ho avuto a lezione si ingegneria facevano al massimo qualche rango e qualche determinante. Sono compiaciuto.
Io purtoppo mi sento poco compiaciuto 
no ad essere sincero l'algebra lineare mi affascina, solo quando non riesco a capire perchè si fa una cosa non riesco ad accettarla, e quindi siccome la dimostrazione della Forma di Jordan non l'ho capita mi viene difficile fare mio il concetto...
Comunque sia, esiste un modo per verificare che la $J_f$ trovata sia corretta??? (sennò faccio faccio esercizi e senza soluzioni non so nemmeno se li ho fatti bene)
p.s. un ultima cosa... esiste un modo più veloce per calcolare la molteplicità geometrica, rispetto al fare il sistema $AX=\lambdaX$ e vedere la dimensione dello spazio delle soluzioni???
no ad essere sincero l'algebra lineare mi affascina, solo quando non riesco a capire perchè si fa una cosa non riesco ad accettarla, e quindi siccome la dimostrazione della Forma di Jordan non l'ho capita mi viene difficile fare mio il concetto...Comunque sia, esiste un modo per verificare che la $J_f$ trovata sia corretta??? (sennò faccio faccio esercizi e senza soluzioni non so nemmeno se li ho fatti bene)
p.s. un ultima cosa... esiste un modo più veloce per calcolare la molteplicità geometrica, rispetto al fare il sistema $AX=\lambdaX$ e vedere la dimensione dello spazio delle soluzioni???
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