Forma canonica di un endomorfismo

[Thomson1]

La domanda è teorico pratica generale quindi spero di formularla nel modo più chiaro possibile. So che un endomorfismo e sempre triangolarizzabile sul campo dei complessi per il teorema fondamentale dell'algebra applicato al polinomio caratteristico, e sapendo che è sempre garantita l'esistenza di almeno un autovettore. Spesso e volentieri succede che gli autospazi in somma diretta non danno lo spazio di partenza in quanto gli autovettori non sono sufficienti a generarlo, ciò equivale a dire che molteplicità geometrica e algebrica non coincidono, e in questo caso "sostituiamo" agli autospazi i più generali autospazi generalizzati, che hanno dimensione pari alla molteplicità algebrica del relativo autovalore e quindi in somma diretta danno la spazio di definizione dell'endomorfismo. Teoricamente tutto chiaro, se non che mi succede che a volte negli esercizi la matrice associata all'autospazio generalizzato è la matrice nulla, ovvero nello studiare il $ker((\phi - \lambda Id_{V})^{\mu(\lambda)})$ la matrice $(A-\lambda I)^{\mu(\lambda)}$ è la matrice nulla e quindi nello scegliere il mio autovettore generalizzato, devo scegliere un vettore che appartenga a questo autospazio ma non a quello di ordine $\mu(\lambda)-1$, che sarebbe il sottospazio precedente nella filtrazione crescente dei nuclei $<0>\subset ker(\phi - \lambda Id_{V}) \subset ... \subset ker((\phi - \lambda Id_{V})^{\mu(\lambda) - 1}) \subset ker((\phi - \lambda Id_{V})^{\mu(\lambda)}) \subset V$. In questo caso credevo che poiché qualsiasi vettore passato a $(\phi - \lambda Id_{V})^{\mu(\lambda)}$ ha come immagine il vettore nullo, bastava scegliere un qualsiasi vettore $w$ tale che $w \notin ker(\phi - \lambda Id_{V})^{\mu(\lambda)-1}$, questo è l'autovettore generalizzato di periodo massimo e da questo si procede all'indietro fino a determinare una base di autovettori per la resitrizione dell'endomorfismo all'autospazio, ma non sempre questa scelta arbitraria funziona, come mai? Dove sbaglio?

[j18eos]

In linea di principio mi sfugge un qualsiasi tuo possibile errore.

Proviamo con esempio concreto?