Forma canonica delle coniche
Ammetto di avere le idee confuse quindi scusate le mie domande banali. Allora devo determinarmi la forma canonica della $3x^2+3y^2+4xy-2y-1=0$..in pratica dovrei canonicizzare l'eqauzione (attravrso autovettori e trovandomi base ortonormale) solo che non capisco perchè il mio professore canonicizza solo la parte $3x^2+3y^2+4xy$ scusate ma non dovrei canonicizzare tutta l'equazione? Che senso avrebbe farlo solo per una parte?
Risposte
Lo fai solo per i termini di ordine due perchè sono gli unici coinvolti nella forma quadratica. Mi spiego meglio, siccome è solo la parte di polinomio di grado 2 che dipende dalla matrice che stai diagonalizzando, la parte di grado minore non ne risulta influenzata. Ma non nel senso che non cambia, nel senso che i termini rimangono di grado minore di 2, in senso stretto. Puoi convincerti di questo ragionando così, visto che siamo nel piano tutti i cambiamenti di base avranno la forma di una rotazione, cioè
$x' = cos \alpha x - sin \alpha y$
$y' = sin \alpha x + cos \alpha y$
con inverse
$x = cos \alpha x' + sin \alpha y'$ (*)
$y = -sin \alpha x' + cos \alpha y'$
Diciamo che siamo partiti da una forma
$a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0$
diagonalizzando ti sei ricondotto ad avere
$\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + d *x(x',y') + e* y(x',y') + f = 0$
dove $x(x',y')$ e $y(x',y')$ sono dati dalle (*). Se vai a sostuire scopri che in definitiva la tua quadratica è diventata
$\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + \delta x' + \gamma y' + f = 0$
ovvero quella giusta per usare il completamento del quadrato e arrivare alla forma canonica.
Se poi svolgi i calcoli trovi anche le relazioni per $\delta $ e $\gamma$ che sono
$\delta = d(cos \alpha - sin \alpha)$
$\gamma = e (cos \alpha + sin \alpha)$
sempre che non abbia sbagliato i calcoli....cosa possibile perchè li ho fatti a mente.
Ti convince così?
$x' = cos \alpha x - sin \alpha y$
$y' = sin \alpha x + cos \alpha y$
con inverse
$x = cos \alpha x' + sin \alpha y'$ (*)
$y = -sin \alpha x' + cos \alpha y'$
Diciamo che siamo partiti da una forma
$a x^2 + b xy + c y^2 + d x + e y + f = 0$
diagonalizzando ti sei ricondotto ad avere
$\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + d *x(x',y') + e* y(x',y') + f = 0$
dove $x(x',y')$ e $y(x',y')$ sono dati dalle (*). Se vai a sostuire scopri che in definitiva la tua quadratica è diventata
$\lambda_1 x'^2 + \lambda_2 y'^2 + \delta x' + \gamma y' + f = 0$
ovvero quella giusta per usare il completamento del quadrato e arrivare alla forma canonica.
Se poi svolgi i calcoli trovi anche le relazioni per $\delta $ e $\gamma$ che sono
$\delta = d(cos \alpha - sin \alpha)$
$\gamma = e (cos \alpha + sin \alpha)$
sempre che non abbia sbagliato i calcoli....cosa possibile perchè li ho fatti a mente.
Ti convince così?
in pratica mi stai dicendo che anche diagonalizzassimo tutta la matrice ( e non solo quella relativa alla parte quadratica) arriveremmo allo stesso punto.. giusto?
"monetaria":
in pratica mi stai dicendo che anche diagonalizzassimo tutta la matrice ( e non solo quella relativa alla parte quadratica) arriveremmo allo stesso punto.. giusto?
Quale sarebbe "tutta la matrice" ??
Comunque quella che devi diagonalizzare e' la matrice dei termini di grado due (ripeto quello che ha detto ale.fabbri) - i termini lineari li elimini , se vuoi, mediante una translazione.
con tutta la matirce intendo la matrice associata all'equazione della conica..
Essendo la tua una conica affine, non puoi definire la matrice ad essa associata. Piuttosto ha senso una scrittura del tipo $X^T*A*X+B^T*X+c=0$. Nel tuo caso, $X=(x,y)$, $A=((3,2),(2,3))$, $b=(0,-2)$ e $c=-1$. Come ti è stato detto nei precedenti post, devi considerare la matrice $A$ 
"monetaria":
con tutta la matirce intendo la matrice associata all'equazione della conica..
Continuo a non capire - potresti scrivere quale matrice intendi nel caso concreto.
PS mi e' venuto un dubbio - non e' che lavori nel piano proiettivo ?
con tutta la matrice intendo $A$= $((3,2,0),(2,3,-1),(0,-1,-1))$
e io mi chiedo perchè non diagonalizziamo questa ma solo $A'$ = $((3,2),(2,3))$
e io mi chiedo perchè non diagonalizziamo questa ma solo $A'$ = $((3,2),(2,3))$
"monetaria":Secondo me va diagonalizzata tutta. Non capisco perché ti poni questi problemi, probabilmente il prof avrà usato qualche trucchetto, magari chiediglielo direttamente.
con tutta la matrice intendo $A$= $((3,2,0),(2,3,-1),(0,-1,-1))$
e io mi chiedo perchè non diagonalizziamo questa ma solo $A'$ = $((3,2),(2,3))$
In questo caso (come in tutti i casi) omogeneizzando l'equazione e cercando una base ortogonale della matrice che hai scritto (la matrice che hai chiamato $A$) ottieni dopo vari conti la forma seguente (dopo aver disomogeneizzato): $1/3 (3x+2y)^2-(y+1)^2+8/3 y^2$.
il prof ha detto che o diagonalizzo $A$ o $A'$ otterrò sempre lo stesso è polinomio caratteristico ( che serve poi a trovare gli autovalori) solo che non capisco il perchè..
"monetaria":Secondo me stiamo parlando tutti di cose diverse.
il prof ha detto che o diagonalizzo $A$ o $A'$ otterrò sempre lo stesso è polinomio caratteristico ( che serve poi a trovare gli autovalori) solo che non capisco il perchè..
Cosa c'entra il polinomio caratteristico? Cosa c'entrano gli autovalori?
Quando hai una forma quadratica per metterla in forma diagonale devi trovare una base ortogonale tramite il procedimento standard: parti da un vettore non isotropo, ne scegli un altro non isotropo a lui ortogonale, poi un terzo non isotropo ortogonale ai primi due, un quarto non isotropo ortogonale ai primi tre e così via.
Potresti gentilmente elaborare un po' di più i concetti? Non si capisce.
"Martino":Secondo me va diagonalizzata tutta. Non capisco perché ti poni questi problemi, probabilmente il prof avrà usato qualche trucchetto, magari chiediglielo direttamente.
[quote="monetaria"]con tutta la matrice intendo $A$= $((3,2,0),(2,3,-1),(0,-1,-1))$
e io mi chiedo perchè non diagonalizziamo questa ma solo $A'$ = $((3,2),(2,3))$
In questo caso (come in tutti i casi) omogeneizzando l'equazione e cercando una base ortogonale della matrice che hai scritto (la matrice che hai chiamato $A$) ottieni dopo vari conti la forma seguente (dopo aver disomogeneizzato): $1/3 (3x+2y)^2-(y+1)^2+8/3 y^2$.[/quote]
Io per la verita' avrei diagonalizzato la matrice $A'$ - probabilmente dopo aver fatto sparire i termini lineari con una translazione.
Questo vedendo la conica in $RR^2$ come $V^t A' V+V_0^t V=1$, dove $V=((x),(y))$ e $V_0=((0),(-2))$
Ma mi rendo conto (queste cose le ho studiate trent'anni fa)
che ci sono dei casi degeneri per cui tale sistema fallisce (la parabola per esempio). Ripensandoci (l'avevo scritto in fondo al messaggio precedente) credo di capire che il modo
giusto e' di ambientarsi nel piano proiettivo e scrivere la conica $W^tAW=0$ dove $W=((x),(y),(z))$.
Tutto questo discorso mi pare faccia capire che, se diagonalizzando $A'$ si trovano autovalori non nulli, allora il gioco e' fatto.
Pero' sarebbe meglio rivedere la teoria ....
@ViciousGoblin: ah ecco, quello che hai detto mi ha fatto venire in mente che forse Monetaria vuole determinare la natura della conica esaminando quella sottomatrice. Se la sottomatrice è degenere la conica è una parabola, altrimenti bisogna guardare il segno del determinante per dire se è un'ellisse o un'iperbole.
@Monetaria: è questo che intendevi? Se sì, potevi dirlo subito...
@Monetaria: è questo che intendevi? Se sì, potevi dirlo subito...
"Martino":
@ViciousGoblin: ah ecco, quello che hai detto mi ha fatto venire in mente che forse Monetaria vuole determinare la natura della conica esaminando quella sottomatrice. Se la sottomatrice è degenere la conica è una parabola, altrimenti bisogna guardare il segno del determinante per dire se è un'ellisse o un'iperbole.
@Monetaria: è questo che intendevi? Se sì, potevi dirlo subito...
A occhio direi che voleva proprio questo, ma non so se lei lo sapeva.
Probabilmente il prof. avra' fatto cosi' e lei voleva una spiegazione, non ricordandosi la regola che hai detto (e che io ho faticosamente recuperato nella mia memoria
)
NO non volevo dire quello! Gli autovalori servono per determinarmi gli autospazi e a sua volta gli autovettori formandomi così una base di autovettori che ortonormalizzo con dei procedimenti..
"monetaria":Perdonami la critica, ma mi sembra che non ti prodighi in spiegazioni. Come puoi pensare che queste due righe scarse che hai scritto chiariscano quello che vuoi fare? Per favore riporta un esempio in cui risolvi un problema analogo, di' chiaramente qual è la cosa che vuoi fare. Una volta che hai trovato una base di autovettori cosa vuoi fare? Come la usi per trovare una forma canonica?
NO non volevo dire quello! Gli autovalori servono per determinarmi gli autospazi e a sua volta gli autovettori formandomi così una base di autovettori che ortonormalizzo con dei procedimenti..
Se risponderai ancora con una riga di commento io non risponderò più (naturalmente parlo solo per me).
Ciao
Bè io mi trovo una base di autovettori e poi li ortonormalizzo con dei procedimenti..fin qui va bene? subito dopo mi determino la matrice di cambiamento di base ed mi trovo l'equazione del cambiamento di base in pratica mi determino i valori di $x$ $y$ rispetto a $x'$ e $y'$ e sostituendo nella equazione ottengo la forma canonica della conica ( dopo aver utilizzato il metodo del completamento della base oppure come alcuni fanno attraverso la traslazione) ..
"monetaria":Ortonormalizzi rispetto alla forma bilineare data o rispetto al prodotto scalare standard?
Bè io mi trovo una base di autovettori e poi li ortonormalizzo con dei procedimenti..fin qui va bene?
subito dopo mi determino la matrice di cambiamento di base ed mi trovo l'equazione del cambiamento di base in pratica mi determino i valori di $x$ $y$ rispetto a $x'$ e $y'$ e sostituendo nella equazione ottengo la forma canonica della conica ( dopo aver utilizzato il metodo del completamento della base oppure come alcuni fanno attraverso la traslazione) ..Cosa sono questi "metodo del completamento della base" e "traslazione"? Tieni presente che potremmo avere modi di chiamare le tecniche diversi dai tuoi, e che qui non si sta ancora capendo se stai pensando alla matrice $3 xx 3$ come la matrice di una applicazione lineare o di una forma bilineare.
Non mi risulta che tu debba raggiungere la forma canonica trovando gli autovalori e gli autovettori, ma cercando una base che porti la matrice $3 xx 3$ che hai scritto in forma diagonale.
Chiama $A$ la tua matrice.
(a) Vuoi trovare una matrice invertibile $P$ tale che $P^{-1}AP$ sia diagonale?
(b) Vuoi trovare una matrice invertibile $P$ tale che $P^t A P$ sia diagonale? ($P^t$ indica la trasposta di $P$)
Nota benissimo: i due problemi (a) e (b) sono diversi.
Nel problema (a) si tratta di trovare una base di autovettori della applicazione lineare data,
nel problema (b) si tratta di trovare una base ortogonale rispetto alla forma bilineare data.
Poi la segnatura classifichera' la conica.
Ti torna quello che ho detto? Stiamo parlando della stessa cosa o di cose diverse?
no stiamo parlando della stessa cosa e la risposta è b perchè il $P$ che io mi trovo è simemtrico quindi coincide con l'inverso..
"monetaria":Ok ora ho capito, grazie. Intendi dire ovviamente che siccome $P$ e' ortonormale hai $P^{-1}=P^t$. Questo e' il collegamento che ti chiedevo prima tra l'ambito lineare e quello bilineare.
no stiamo parlando della stessa cosa e la risposta è b perchè il $P$ che io mi trovo è simemtrico quindi coincide con l'inverso..
Nel momento in cui tu sai condurti alla forma canonica (facendo il procedimento a cui hai accennato) credo che il problema sia risolto. Secondo me per sapere perche' il tuo prof ha diagonalizzato solo la $2 xx 2$ lo devi chiedere a lui. Sicuramente l'ha fatto basandosi su argomentazioni particolari che ha fatto prima.
l'unica cosa che ha detto è che o diagonalizzo la sottomatrice o tutta la matrice otterrò sempre la stessa base però lo ha accennato senza dimostrarlo ..
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo