Forma canonica delle coniche
Ammetto di avere le idee confuse quindi scusate le mie domande banali. Allora devo determinarmi la forma canonica della $3x^2+3y^2+4xy-2y-1=0$..in pratica dovrei canonicizzare l'eqauzione (attravrso autovettori e trovandomi base ortonormale) solo che non capisco perchè il mio professore canonicizza solo la parte $3x^2+3y^2+4xy$ scusate ma non dovrei canonicizzare tutta l'equazione? Che senso avrebbe farlo solo per una parte?
Risposte
Scusa martino, ma ripeto che la diagonalizzazione della due per due e' la prima cosa che mi sarebbe venuta in mente, non ricordando piu' la teoria generale.
Mi pare che se la conica ha la forma $W^t A_1 W+V_0^tW+c=0$ dove $A_1$ e' una matrice simmetrica due per due, $V_0$ e' un vettore costante , $c$ e' un numero
e $W=((x),(y))$ allora si puo' provare a
1) diagonalizzare $A_1$, trovando due autovettori $ e_1,e_2$ (in $RR^2$) ortogonormali, costruendo la matrice $B=(e_1,e_2)$ di modo che
$A_=B D B^{-1}$ dove $D$ e' la matrice diagonale avente gli autovalori $\lambda_1,\lambda_2$ sulla diagonale e $B^{-1}=B^t$:
2) se $\lambda_1\ne0$ e $\lambda_2\ne0$ allora si puo' porre $W_1:=B^{-1}W=B^tW$ (ci si mette nella base di $e_1,e_2$) e la conica diventa
$0=W^tBDB^tW_1^tW+V_0^tBB^tW+c=W_1^t D W_1+ (B^tV_0)^tW_1+c$.
3) facendo una translazione, cioe' prendendo un opportuno $W_0$ e un opportuno $c_0$ l'ultima relazione si puo' scrivere
$(W_1-W_0)^tD(W_1-W_0)=c_0$, che dice subito che tipo di conica (iperbole o ellisse) e'.
Come detto nell'altro post questo sistema fallisce se la conica e' una parabola (e probabilmente qualche altro caso degenere), ma e' "genericamente vero"
Gli autovettori di $A_1$ hanno un significato ben preciso e sono gli "assi" della conica (spero che la terminologia si corretta) - il cambio di coordinate mediante cui la cui
la conica si mette in forma canonica e' dato dalla matrice $B^{-1}$ e dal vettore $W_0$.
Naturalmente il metodo elegante e quello di passare al piano proiettivo introducendo le coordinate omeogeneee (si dice cosi' ??) e in questo modo anche la translazione e'
contenuta nella diagonalizzazione della matrice $A$ (tre per tre) - inoltre in questo modo non ci sono eccezioni.
Pero' una volta trovati gli autovalori della tre per tre mi pare che si debba tornare su $RR^2$ e, nel caso la $A_1$ non sia degenere, trovare i due vettori $e_1$ ed $e_2$.
Qui non so bene come si faccia (dovrei riprendere in mano la cosa) ma mi pare che il discorso del prof. non sia poi cosi' peregrino.
Scusa per il mio approccio "con le mani" e se ho scritto imprecisioni
Mi pare che se la conica ha la forma $W^t A_1 W+V_0^tW+c=0$ dove $A_1$ e' una matrice simmetrica due per due, $V_0$ e' un vettore costante , $c$ e' un numero
e $W=((x),(y))$ allora si puo' provare a
1) diagonalizzare $A_1$, trovando due autovettori $ e_1,e_2$ (in $RR^2$) ortogonormali, costruendo la matrice $B=(e_1,e_2)$ di modo che
$A_=B D B^{-1}$ dove $D$ e' la matrice diagonale avente gli autovalori $\lambda_1,\lambda_2$ sulla diagonale e $B^{-1}=B^t$:
2) se $\lambda_1\ne0$ e $\lambda_2\ne0$ allora si puo' porre $W_1:=B^{-1}W=B^tW$ (ci si mette nella base di $e_1,e_2$) e la conica diventa
$0=W^tBDB^tW_1^tW+V_0^tBB^tW+c=W_1^t D W_1+ (B^tV_0)^tW_1+c$.
3) facendo una translazione, cioe' prendendo un opportuno $W_0$ e un opportuno $c_0$ l'ultima relazione si puo' scrivere
$(W_1-W_0)^tD(W_1-W_0)=c_0$, che dice subito che tipo di conica (iperbole o ellisse) e'.
Come detto nell'altro post questo sistema fallisce se la conica e' una parabola (e probabilmente qualche altro caso degenere), ma e' "genericamente vero"
Gli autovettori di $A_1$ hanno un significato ben preciso e sono gli "assi" della conica (spero che la terminologia si corretta) - il cambio di coordinate mediante cui la cui
la conica si mette in forma canonica e' dato dalla matrice $B^{-1}$ e dal vettore $W_0$.
Naturalmente il metodo elegante e quello di passare al piano proiettivo introducendo le coordinate omeogeneee (si dice cosi' ??) e in questo modo anche la translazione e'
contenuta nella diagonalizzazione della matrice $A$ (tre per tre) - inoltre in questo modo non ci sono eccezioni.
Pero' una volta trovati gli autovalori della tre per tre mi pare che si debba tornare su $RR^2$ e, nel caso la $A_1$ non sia degenere, trovare i due vettori $e_1$ ed $e_2$.
Qui non so bene come si faccia (dovrei riprendere in mano la cosa) ma mi pare che il discorso del prof. non sia poi cosi' peregrino.
Scusa per il mio approccio "con le mani" e se ho scritto imprecisioni