Forma bilineare: proprietà che non capisco

[zio_mangrovia]

Ho poco chiaro questa definizione:
Dato uno spazio vettoriale reale $X$ si definisce forma bilineare su $X$ una qualunque funzione:

$\alpha:$ $X$ $x$ $X$$->RR$

Tale che la funzione:

$x->\alpha:(x,y)$ lineare $AAy$ fissato
$y->\alpha:(x,y)$ lineare $AAx$ fissato

Non capisco le due proprietà sopra elencate, di quale funzione si parla??!?
Il dominio non è forse il prodotto cartesiano $XxX$ ?! Perché nella proprietà il dominio è $X$ (si indica $x$ nella prima proprietà e $y$ nella seconda)
Facendo delle ricerche le proprietà sono espresse in maniera diversa in questo modo proprio non capisco.

[killing_buddha]

Ogni funzione definita su un prodotto del tipo XxY, verso Z, induce una funzione da X a Z fissando y in Y. Analogamente per una funzione da Y a Z ottenuta fissando x in X. Si chiama (un)currying, googla

[zio_mangrovia]

"killing_buddha": induce una funzione da X a Z fissando y in Y

significa che fisso un parametro, in questo caso $y$ e applico la funzione $\alpha:(x,y)->RR$ cioè considero il solo parametro $x$ quindi $x->\alpha(x,y)$ , corretto?
Ma lineare? Come si giustifica/applica a questa funzione la linearità?

[killing_buddha]

Chiedendo che la funzione che ottieni così facendo sia lineare, cosa non capisci?

[zio_mangrovia]

"killing_buddha":Chiedendo che la funzione che ottieni così facendo sia lineare, cosa non capisci?

come devo interpretare la linearità di $x->\alpha(x,y)$ $AAyinX$ ? non capisco questo.

Il concetto di linearità si riferisce a quello che trovo nelle applicazioni lineari immagino cioè:

$A(x)+A(y)=A(x+y)$ con $x,yin X$
$A(\alphax)=\alphaA(x)$ con $\alpha in RR$
e cioè $A(\alphax+\alphay)=\alphaA(x)+\alphaA(y)$

[killing_buddha]

Sì, certo, e $\alpha(x,-) : y\mapsto \alpha(x,y)$ è lineare, così come $\alpha(-,y) : \mapsto \alpha(x,y)$. Questa è la bilinearità. $y\in Y$ è fisso nel secondo caso, $x\in X$ è fisso nel primo, e ciascuna \(\alpha(x,-)\) è lineare.

Questo è esattamente il currying di $\alpha : X\times Y \to Z$ a \(\tilde \alpha : X \to \hom(Y,Z)\).

[zio_mangrovia]

"killing_buddha":Sì, certo, e $\alpha(x,-) : y\mapsto \alpha(x,y)$ è lineare, così come $\alpha(-,y) : \mapsto \alpha(x,y)$. Questa è la bilinearità. $y\in Y$ è fisso nel secondo caso, $x\in X$ è fisso nel primo, e ciascuna \(\alpha(x,-)\) è lineare.

Quindi per fare un riepilogo:
$\alpha(x,-) : y\mapsto \alpha(x,y)$ si intende:
la funzione $\alpha$ che ha in input un solo valore (fisso) detto $x$ mentre è influente l'altro ($-$) e
produce in output $alpha(x,y)$
non capisco bene il $:$ cosa significhi... nella formula $\alpha(x,-) : y\mapsto \alpha(x,y)$

OK la bilinearità ma linearità non riesco a percepirla proprio!

"killing_buddha":
Questo è esattamente il currying di $\alpha : X\times Y \to Z$ a \(\tilde \alpha : X \to \hom(Y,Z)\).

$hom(Y,Z)\)$ questa qua che funzione è?! Non dovrebbe essere $\alpha$

[killing_buddha]

\[
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|}\hline
\textbf{cosa ho scritto}& \alpha & (x,-) & \colon & y \mapsto & \alpha(x,y) \\ \hline
\textbf{come si legge} & \text{la funzione } \alpha & \text{di $(x,$ blank)} & \text{manda} & y \text{ in} & \alpha(x,y)\\\hline
\end{array}
\] "blank" è la variabile libera della funzione ottenuta fissando $x\in X$.

Il significato di "fissare $x\in X$ e ottenere una funzione $Y\to Z$" è che esiste una biiezione tra l'insieme
\[
\hom(X\times Y,Z)
\] delle funzioni definite sul prodotto, e l'insieme
\[
\hom(X, \hom(Y,Z))
\] delle funzioni da $X$ nell'insieme delle funzioni $Y\to Z$. La biiezione è indotta precisamente dalla funzione che manda $\alpha : X\times Y \to Z$ in \(\tilde \alpha : X \to \hom(Y,Z) : x \mapsto \alpha(x,-)\) (dimostra che è biiettiva).

Questo è proprio quello che succede alle funzioni, e alle funzioni multilineari: questa è la definizione giusta di multilinearità, ed è sostanzialmente diversa dal chiedere che $\alpha : X\times Y \to Z$ sia lineare se $X\times Y$ è il prodotto di spazi vettoriali.

Soprattutto, la definizione di linearità da $X\times Y$ "non va bene" perché $X\times Y\cong X\oplus Y$: questo identifica $\hom(X\times Y)$ al prodotto \(\hom(X,Z)\times \hom(Y,Z)\), e quest'ultima è una cosa che non vuoi, dato che tale condizione non ti dà davvero una funzione bilineare, ovvero tale per cui $\alpha(\lambda v,w)=\alpha(v, \lambda,w)$, per ogni $\lambda\in \mathbb K$.

Questa è infatti una proprietà inerente alla richiesta che (pe bilinearità) entrambe siano uguali a $\lambda \alpha(v,w)$, ma non è soddisfatta da una mappa $\beta : X\oplus Y\to Z$ (trova un controesempio quando $X=Y=Z=\mathbb R$).

Quello che vuoi è comunque che esista uno spazio vettoriale $X\otimes Y$ tale per cui
\[
\text{Bil}(X\times Y,Z) \cong\hom(X\otimes Y,Z)
\] ma questa è un'altra storia.

[killing_buddha]

Poi non dite che non mi impegno