Fogli semplici di superficie: direzioni asintotiche e direzioni principali

[TT92]

Buon pomeriggio a tutti,
avrei una domanda su un argomento che non mi è troppo chiaro. Parliamo di fogli semplici di superficie in $ \mathbb{R}^3 $: se devo calcolare le direzioni asintotiche in un punto, so che sono le direzioni su cui la seconda forma fondamentale è nulla.
Indicando con $ B $ la matrice rappresentativa della seconda forma fondamentale, devo porre $ (a,b) ((b_11,b_21),(b_21,b_22)) ((a),(b)) = 0 $ (valutando B nel punto) e ricavare $ a $ e $ b $. A questo punto, la direzione asintotica è $ (a,b) $ o invece (come credo) $ a $ e $ b $ sono le componenti del vettore "direzione asintotica" rispetto alla base del foglio semplice?
La stesso discorso vale per le direzioni principali...
A me sembrerebbe più logica la seconda ipotesi, però leggendo le definizioni sembra più adatta la prima!
Grazie in anticipo a chi vorrà aiutarmi!

[Alexp1]

Ciao,
si $(a,b)$ sono le coordinate espresse nella base indotta dalla parametrizzazione scelta...

[TT92]

Grazie!
A lezione avevamo usato indistintamente le due rappresentazioni, ora è chiaro.