Flesso di una curva parametrica
verifica che $P=(4,-4sqrt(6)/3)$ è un flesso della curva di equazioni parametriche:
$x=5/2*(2+t^2)/(1+t^2)$ $y=5t/2*(2+t^2)/(1+t^2)$
per cercare i flessi serve l'hessiana.. dovrei quindi scrivere il determinate della matrice formato dalle derivate del secondo ordine e imporre uguale a zero?ma come si scrive visto la curva è parametrica?
$x=5/2*(2+t^2)/(1+t^2)$ $y=5t/2*(2+t^2)/(1+t^2)$
per cercare i flessi serve l'hessiana.. dovrei quindi scrivere il determinate della matrice formato dalle derivate del secondo ordine e imporre uguale a zero?ma come si scrive visto la curva è parametrica?
Risposte
Il tuo modo di risoluzione non lo conosco anche se mi sembra di averlo intravisto nel mio corso di geometria.
A me però avevano insegnato a cercare i punti di flesso nei punti dove, se prendiamo la curva come posizione di un oggetto in funzione del tempo, abbiamo che l'accelerazione e la velocità (intesi come vettori) sono paralleli. Ovvero l'oggetto percorre un tratto di linea retta (che può essere anche solo un punto).
Però c'è qualcosa alla fine che non mi torna, se qualcuno "che passa di qua" può darci un occhiata forse sa dire cosa c'è di sbagliato.
Il ragionamento è quanto segue:
La curva possiamo esprimerla nel seguente modo: $\bb x=(f(t), t\ f(t))$, dove $f(t)=5/2 (t^2+2)/(t^2+1)$.
Le derivate prima e seconda sono
$\bb v=(f', f+t\ f')$
$\bb a = (f'', 2f'+t\ f'')$
Ora imponendo $\bb v = \lambda \bb a$ si trova che $(f')/(f'')=(f+t\ f')/(2f'+t\ f'')$ ovvero $2(f')^2=f\ f''$.
Calcoliamo le derivate di $f$ con un cambio di variabile (forse è qui l'origine dei problemi ?) $f=5/2(t^2+2)/(t^2+1)=5/2(z^2+1)/(z^2)$
da cui $f'=5/2 (-2/z^3)$ e $f''=5/2 (6/z^4)$.
La $2(f')^2=f\ f''$ diventa $4=3(t^2+2)$, però andando a sostituire $t=-\sqrt(2/3)$, viene $2=1$
.
Non so però cosa c'è che non torna nei calcoli.
A me però avevano insegnato a cercare i punti di flesso nei punti dove, se prendiamo la curva come posizione di un oggetto in funzione del tempo, abbiamo che l'accelerazione e la velocità (intesi come vettori) sono paralleli. Ovvero l'oggetto percorre un tratto di linea retta (che può essere anche solo un punto).
Però c'è qualcosa alla fine che non mi torna, se qualcuno "che passa di qua" può darci un occhiata forse sa dire cosa c'è di sbagliato.
Il ragionamento è quanto segue:
La curva possiamo esprimerla nel seguente modo: $\bb x=(f(t), t\ f(t))$, dove $f(t)=5/2 (t^2+2)/(t^2+1)$.
Le derivate prima e seconda sono
$\bb v=(f', f+t\ f')$
$\bb a = (f'', 2f'+t\ f'')$
Ora imponendo $\bb v = \lambda \bb a$ si trova che $(f')/(f'')=(f+t\ f')/(2f'+t\ f'')$ ovvero $2(f')^2=f\ f''$.
Calcoliamo le derivate di $f$ con un cambio di variabile (forse è qui l'origine dei problemi ?) $f=5/2(t^2+2)/(t^2+1)=5/2(z^2+1)/(z^2)$
da cui $f'=5/2 (-2/z^3)$ e $f''=5/2 (6/z^4)$.
La $2(f')^2=f\ f''$ diventa $4=3(t^2+2)$, però andando a sostituire $t=-\sqrt(2/3)$, viene $2=1$
.Non so però cosa c'è che non torna nei calcoli.
e no non viene!:( come si fa
Che maleducazione... non ho parole.
Il problema è infatti nel cambio di variabile. Calcolando le derivate in $t$ viene il risultato giusto.
Il problema è infatti nel cambio di variabile. Calcolando le derivate in $t$ viene il risultato giusto.
perchè che maleducazione 
? dove sta l'errore del cambio di variabile.. non lo trovo..
? dove sta l'errore del cambio di variabile.. non lo trovo..
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