Finding the missing autospazio

[enrico.bellemo]

Salve! Non riesco a trovare, in merito ad un esercizio di diagonalizzazione, l'autospazio relativo all'autovalore $sqrt(2)$;

per farla breve, facendo $Ker(A - sqrt(2)*I)$ ottengo la matrice:

$ | ( -1-sqrt(2) , -1 , 0 ),( -1 , 1-sqrt(2) , 0 ),( 0 , 0 , 1-sqrt(2) ) | $

dove $A = | ( -1 , -1 , 0 ),( -1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) | $

Essendo $sqrt(2)$ un autovalore di molteplicità 1, dovrei avere che la dimensione del ker vale 1, ma in realtà portando la matrice in forma triangolare superiore ottengo:

$ | ( 1 , 1/(1+sqrt(2)) , 0 ),( 0 , 1-sqrt(2) , 0 ),( 0 , 0 , 1-sqrt(2) ) | $

che dà ker nullo

Avendo verificato con Wolfram che invece il ker vale ${(1-sqrt(2), 1, 0)}$ , chiedo umilmente aiuto.

Grazie!

[Shocker1]

Ciao,


Puoi postare i conti che ti hanno portato alla matrice a scalini?

[enrico.bellemo]

Allora:

$diamond$ per prima cosa moltiplico per meno uno la prima riga, in modo che diventi tutta positiva;

$diamond$ sottraggo poi la prima riga, moltiplicata per $1/(1+sqrt(2))$, alla seconda in modo da ottenere zero in posizione (2,1) e $(1-sqrt(2) - 1/(1-sqrt(2)))$ in posizione (2,2)[/list:u:3akcyvvb]

Svolgendo il conticino, in posizione (2,2) ottengo: $-2/(1+sqrt(2))$

Dimmi tu dove sbaglio, grazie ancora!

[enrico.bellemo]

Help please

[Shocker1]

"Henry!":Allora:

$diamond$ per prima cosa moltiplico per meno uno la prima riga, in modo che diventi tutta positiva;

$diamond$ sottraggo poi la prima riga, moltiplicata per $1/(1+sqrt(2))$, alla seconda in modo da ottenere zero in posizione (2,1) e $(1-sqrt(2) - 1/(1-sqrt(2)))$ in posizione (2,2)[/list:u:124uo015]

Svolgendo il conticino, in posizione (2,2) ottengo: $-2/(1+sqrt(2))$

Dimmi tu dove sbaglio, grazie ancora!

L'errore è nel punto 2): sottrai la prima riga alla seconda? No, dovresti addizionarla visto che la seconda riga è $(-1, 1 - sqrt(2), 0)$ e la prima è $(1 + sqrt(2), 1, 0)$

[enrico.bellemo]

Fantastico Shocker! Adesso mi ritrovo con $ | ( 1+sqrt(2) , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1-sqrt(2) ) | $.

Guiusto per essere sicuri: se alla fine ho $x = -1/(1+sqrt(2))$, si può moltiplicare per il coniugato: $(1-sqrt(2))/(1-sqrt(2))$ per ottenere $x = 1-sqrt(2)$ ? (ovviamente con $y=1$ fissata e $z=0$)

[Shocker1]

"Henry!":Fantastico Shocker! Adesso mi ritrovo con $ | ( 1+sqrt(2) , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 1-sqrt(2) ) | $.

Guiusto per essere sicuri: se alla fine ho $x = -1/(1+sqrt(2))$, si può moltiplicare per il coniugato: $(1-sqrt(2))/(1-sqrt(2))$ per ottenere $x = 1-sqrt(2)$ ? (ovviamente con $y=1$ fissata e $z=0$)

tecnicamente quello non è un coniugato, comunque sì puoi moltiplicare e dividere per $1-sqrt(2)$.

Ciao!

[enrico.bellemo]

Hahah, dai non andiamo troppo per il sottile! Grazie mille!