Figure...particolari

[Principe2]

consideriamo lo spazio vettoriale di dimensione 1 dei vettori applicati in un punto (ovvero una retta); prendiamo due opportune semirette, la loro intersezione genererà un segmento la cui lunghezza è |x1-x2|, essendo x1, x2, le coordinate degli estremi del segmento rispetto ad una base ortonormale (in questo caso basta un vettore di lunghezza 1.

passiamo alla dimensione 2 (ovvero al piano); prendendo tre opportuni semipiani si ottiene un triangolo la cui area è 1/2*|Det(A)|, essendo A=[[x2-x1,y2-y1],[x3-x1,y3-y1]], essendo (x1,y1)...le coordinate dei vertici del triangolo rispetto ad una base ortonormale.

nello spazio, se si prendono tre opportuni semispazi, si ottiene un tetraedro il cui volume è 1/6*|Det(A)|, essendo A una matrice quadrata di ordine 3 che si ottiene come "ovvia" generalizzazione di quella precedente, osservando che, in tal caso, i punti che intervengono sono quattro.

bene... quello che penso, non so se è già noto, è che , nel caso di spazi di dimensione n, intersecando n+1 opportuni semispazi di dimensione n, si ottiene una figura, il cui "volume" è 1/n! * Det(A), dove A è la generalizzazione al caso n delle matrici sopra considerate.

che ne pensate?..

p.s.
spero che qualcuno ci abbia capito qualcosa..

ciao, ubermensch

[Sk_Anonymous]

Mi sembra ragionevole; prova a dimostrarlo per induzione.

Luca.

[Principe2]

ci sto provando ma non ci riesco... mi mancano dei "pezzi"...
continuerò comunque a pensarci.. grazie per il consigli.
ciao, ubermensch

[Mistral2]

quote:

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Originally posted by ubermensch

consideriamo lo spazio vettoriale di dimensione 1 dei vettori applicati in un punto (ovvero una retta); prendiamo due opportune semirette, la loro intersezione genererà un segmento la cui lunghezza è |x1-x2|, essendo x1, x2, le coordinate degli estremi del segmento rispetto ad una base ortonormale (in questo caso basta un vettore di lunghezza 1.

passiamo alla dimensione 2 (ovvero al piano); prendendo tre opportuni semipiani si ottiene un triangolo la cui area è 1/2*|Det(A)|, essendo A=[[x2-x1,y2-y1],[x3-x1,y3-y1]], essendo (x1,y1)...le coordinate dei vertici del triangolo rispetto ad una base ortonormale.

nello spazio, se si prendono tre opportuni semispazi, si ottiene un tetraedro il cui volume è 1/6*|Det(A)|, essendo A una matrice quadrata di ordine 3 che si ottiene come "ovvia" generalizzazione di quella precedente, osservando che, in tal caso, i punti che intervengono sono quattro.

bene... quello che penso, non so se è già noto, è che , nel caso di spazi di dimensione n, intersecando n+1 opportuni semispazi di dimensione n, si ottiene una figura, il cui "volume" è 1/n! * Det(A), dove A è la generalizzazione al caso n delle matrici sopra considerate.

che ne pensate?..

p.s.
spero che qualcuno ci abbia capito qualcosa..

ciao, ubermensch

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Penso che si dimostri utilizzando gli integrali e una sostituzione di coordinate che porti i vettori dei vertici Pj-P0 (P0 un vertice scelto come origine) sui vettori unitari degli assi di un sistema cartesiano ortogonale in n-dimensioni. In questo modo ti riduci ad un integrale dove la costante det(A) compare per il cambio di coordinate e hai un tetraedro n-dimensionale (simplesso mi pare si chiami) come volume di integrazione, su cui puoi operare facilmente per induzione in quanto ha proiezione in uno dei iperpiani un tetraedro di dimensione n-1. Comunque sono andato a naso senza fare i calcoli