F.c. di Jordan

[kobeilprofeta]

trovare la forma canonica di Jordan di
$A=((1,0,0,a),(0,1,0,0),(1,0,a,0),(0,0,0,1))$
grazie mille

[franc.u1]

Ciao, per prima cosa troviamo gli autovalori della matrice $A$ facendo $A-\lambdaI$

$A-\lambdaI => ((1-\lambda,0,0,a),(0,1-\lambda,0,0),(1,0,a-\lambda,0),(0,0,0,1-\lambda))$

Il determinante di questa matrice è: $(a-\lambda)(1-\lambda)^3$, e quindi i suoi autovalori sono $a,1$ il primo di molteplicità algebrica 1 e il secondo di molteplicità algebrica 3, il primo autovalore creerà un blocco di Jordan di ordine uno $J_1(a)$, invece per il secondo autovalore dobbiamo andare a vedere la sua molteplicità geometrica:

$A-1*I => ((0,0,0,a),(0,0,0,0),(1,0,a-1,0),(0,0,0,0)) $

questa matrice ha rango 2, quindi avremo due blocchi di Jordan, uno di ordine 1 e uno di ordine 2: $J_1(1)$ e $J_2(1)$

Quindi la forma canonica di Jordan è:

$((1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,a))$

[kobeilprofeta]

il rango della matrice inrealtà dipende da a:
$car={(2 if a!=0),(1 if a=0):}$

[franc.u1]

Giustissimo ! quindi se $a!=0$ la forma canonica di Jordan sarà:

$((1,1,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,a))$

Invece se $a=0$ abbiamo:

$((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,a))$ ma dato che $a$ è proprio $0$ allora la matrice sarà:

$((1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,0))$

Spero di non aver commesso errori !