Fascio proprio di piani

[mikimix1]

Salve ragazzi sono nuova su questo forum, in vista dell'esame di geometria e algebra ho trovato molto comode alcune delle vostre risposte, ho ben pensato di esporre alcuni esercizi che non mi sono ancora chiari. Vi ringrazio tutti in anticipo per le eventuali risposte. L'esercizio è il seguente:


Considerati i fasci propri di piani F1 e F2, aventi per asse rispettivamente le rette r1 e r2:
$ r1 { ( x=1+t ),( y=-t ),( z=2+t ):} $

$ r2 { ( x-z-1=0 ),( x+y-4=0 ):} $

i) determinare, se possibile $ F1nn F2 $
ii) la distanza tra r1 e r2
iii) due piani $ pi 1in F1 $ e $ pi 2in F2 $ paralleli tra loro

Io avevo pensato per il punto i) di trovare semplicemente l'intersezione tra gli assi, che se non erro basta sostituire le equazioni parametriche in une delle due equazioni della retta in forma cartesiana, e per il punto ii) di trovare la distanza tra due punti qualsiasi delle rette r1 e r2 che potrei individuare dai coefficienti angolari delle due rette, trasformando la r2 anch'essa in forma parametrica. Correggetemi se sbaglio. Per il iii) non ne ho proprio idea

Grazie mille

[billyballo2123]

i)L'intersezione dei due fasci deve essere un piano, che non potrà mai quindi essere uguale all'intersezione dei due assi (che è un punto). L'intersezione tra i due fasci è il piano che contiene entrambi gli assi.

ii)La distanza tra le due rette non la puoi determinare prendendo due punti a caso tra le rette. devi trovare la distanza minima tra le distanze di tutte le possibili coppie di punti. Essendo queste due rette parallele (cosa che ti garantisce l'esistenza del piano del punto 1), puoi fissare un punto qualsiasi su una delle due rette e poi calcolare la distanza minima tra tutte le distanze tra quel punto e quelli sull'altra retta.

iii)Basta prendere un piano qualunque passante per il primo asse, ad esempio
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=t
\begin{bmatrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{bmatrix}
+s
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
2
\end{bmatrix}
\]
e il suo parallelo passante per il secondo asse:
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=t
\begin{bmatrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{bmatrix}
+s
\begin{bmatrix}
1 \\
0 \\
0
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
0
\end{bmatrix}.
\]


(Tenendo presente che l'equazione parametrica del secondo asse è
\[
\begin{bmatrix}
x \\
y \\
z
\end{bmatrix}
=t
\begin{bmatrix}
1 \\
-1 \\
1
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
1 \\
3 \\
0
\end{bmatrix}
\]
)

[mikimix1]

Ti ringrazio innanzitutto per la risposta, sei stato molto chiaro. Ma per ii) mi trovo anche io che sono parallele, e non è proprio questo che mi consente di considerare la distanza tra due punti qualsiasi delle due rette?

[billyballo2123]

No. Preso un punto a caso su una retta, non puoi prenderne un altro a caso sull'altra, perché potresti prenderne uno lontanissimo o uno relativamente vicino, quindi la distanza varierebbe a seconda del punto che scegli sulla seconda retta. Per ottenere la distanza devi prendere l'unico punto che la minimizza

[mikimix1]

Ah si hai ragione. Grazie. E se mi dovesse chiedere se esiste più di un piano appartenente a $ F1nn F2 $ ?

[billyballo2123]

Se esistono due piani $\pi_1$ e $\pi_2$ che appartengono a $F_1\cap F_2$, allora $\pi_1$ e $\pi_2$ contengono entrambi $r_1$ e $r_2$. Possiamo prendere $P_1$ e $P_2$ su $r_1$ e $P_3$ su $r_2$, sicuri che i tre punti non siano allineati, ottenendo che $\pi_1$ e $\pi_2$ contengono tutti e tre i punti. Ma per tre punti non allineati passa un solo piano, quindi $\pi_1 = \pi_2$.

Oppure puoi farla breve e dire che per due rette non coincidenti (come $r_1$ e $r_2$) passa al più un piano.

[mikimix1]

Grazie mille

[billyballo2123]

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