Fascio di rette e distanza dall'origine
Salve a tutti, sono nuovo del forum e ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un problemino facile che mi hanno dato ai precorsi dell'uni (facoltà informatica)
Il problemino richiede che dato il punto P di coordinate (0 , 2), scrivere l'equazione della retta passante per il punto e tale che la distanza dall'origine sia 1.
Io non so come risolverlo
Se magari non mi sono spiegato bene chiedete pure
Grazie anticipatamente!
Il problemino richiede che dato il punto P di coordinate (0 , 2), scrivere l'equazione della retta passante per il punto e tale che la distanza dall'origine sia 1.
Io non so come risolverlo
Se magari non mi sono spiegato bene chiedete pure
Grazie anticipatamente!
Risposte
Il fascio di rette proprio con centro in $(0,2)$ ha equazione $y - 2 = mx$. Usando la formula di distanza punto retta, scrivi la distanza fra il fascio e l'origine in funzione di $m$. Uguagli tutto a $1$ e risolvi rispetto a $m$.
Anzitutto benvenuto nel forum!
Io farei così:
1. scriverei il fascio di rette passanti per il punto $P(0;2)$, che si ottiene facilmente da $y-y_0=m(x-x_0)$ sostituendo i valori delle coordinate;
2. scritto il fascio calcolo la distanza del punto $O(0;0)$ dal fascio, sfruttando la formula per la distanza: $(|ax_0+by_0+c|)/(sqrt(a^2+b^2))$ e la impongo uguale a 1;
3. risolvo l'equazione in $m$ e sostituisco tale valore (o valori) all'interno del fascio per trovare la retta (le rette) soddisfacenti alla richiesta.
Spero di aver capito bene, di non aver sparato sciocchezze e di essere ststo chiaro, ti saluto invitandoti a scrivere se avessi ancora dubbi.
Ciao,
Paolo
Io farei così:
1. scriverei il fascio di rette passanti per il punto $P(0;2)$, che si ottiene facilmente da $y-y_0=m(x-x_0)$ sostituendo i valori delle coordinate;
2. scritto il fascio calcolo la distanza del punto $O(0;0)$ dal fascio, sfruttando la formula per la distanza: $(|ax_0+by_0+c|)/(sqrt(a^2+b^2))$ e la impongo uguale a 1;
3. risolvo l'equazione in $m$ e sostituisco tale valore (o valori) all'interno del fascio per trovare la retta (le rette) soddisfacenti alla richiesta.
Spero di aver capito bene, di non aver sparato sciocchezze e di essere ststo chiaro, ti saluto invitandoti a scrivere se avessi ancora dubbi.
Ciao,
Paolo
Come non detto.... bruciato da Tipper 
(scusa non avevo visto...)
Paolo
(scusa non avevo visto...) Paolo
"netsky3":
Salve a tutti, sono nuovo del forum e ho bisogno del vostro aiuto per risolvere un problemino facile che mi hanno dato ai precorsi dell'uni (facoltà informatica)
Il problemino richiede che dato il punto P di coordinate (0 , 2), scrivere l'equazione della retta passante per il punto e tale che la distanza dall'origine sia 1.
Io non so come risolverlo
Se magari non mi sono spiegato bene chiedete pure
Grazie anticipatamente!
non starai mica alla Sapienza di Roma??
Esistono diverdi modi per risolvere l'esercizio.
Scrivi la generica retta passante per il punto di P, successivamente calcola la distanza della retta dall'origine (utilizzando la formula della distanza di un punto da una retta) e imponi che tale distanza sia uguale a 1.
Scrivi la generica retta passante per il punto di P, successivamente calcola la distanza della retta dall'origine (utilizzando la formula della distanza di un punto da una retta) e imponi che tale distanza sia uguale a 1.
Visto che sono stato bruciato da tutti, allora ti consiglio anche un'altra strada:
Scrivi la circonferenza di centro l'origine e raggio 1, ovvero x^2+y^2=1. Imponi che la generica retta per P sia tangente a tale circonferenza. Se non sbaglio le rette che soddisfano alla condizione sono 2. Essendo tangenti alla circonferenza hanno distanza uguale a 1.
Scrivi la circonferenza di centro l'origine e raggio 1, ovvero x^2+y^2=1. Imponi che la generica retta per P sia tangente a tale circonferenza. Se non sbaglio le rette che soddisfano alla condizione sono 2. Essendo tangenti alla circonferenza hanno distanza uguale a 1.
visto che sono stato bruciato da tutti ti consiglio un'altra strada:
la retta a distanza d dall'origine e passante per P e' perpendicolare alla retta passante per l'origine e per P.
la retta a distanza d dall'origine e passante per P e' perpendicolare alla retta passante per l'origine e per P.
Visto che sono stato bruciato sul tempo da tutti, ti propongo un'altra strada:
il segmento che ha per estremi $P=(0;2)$ e il punto $T$ che realizza la distanza uguale a 1 ha lunghezza pari a $sqrt{3}$,
visto che il triangolo $OPT$ è rettangolo in $T$.
Allora ci sono varie alternative:
1) intersecare la circonferenza $x^2+y^2=1$ con la circonferenza avente centro in P e raggio pari a $sqrt{3}$
(si trova l'equazione $x^2+(y-2)^2=3$), trovando i due punti che realizzano la distanza uguale a 1
(sono $T$ e $T^{'}$, simmetrico di $T$ rispetto all'asse delle $y$;
2) trovare le rette tangenti condotte dall'origine alla circonferenza $x^2+(y-2)^2=3$;
i punti di tangenza sono le soluzioni del problema $T$ e $T^{'}$.
Per la cronaca le due rette tangenti sono $y=\frac{sqrt{3}}{3}x$ e $y=-\frac{sqrt{3}}{3}x$
Francesco Daddi
il segmento che ha per estremi $P=(0;2)$ e il punto $T$ che realizza la distanza uguale a 1 ha lunghezza pari a $sqrt{3}$,
visto che il triangolo $OPT$ è rettangolo in $T$.
Allora ci sono varie alternative:
1) intersecare la circonferenza $x^2+y^2=1$ con la circonferenza avente centro in P e raggio pari a $sqrt{3}$
(si trova l'equazione $x^2+(y-2)^2=3$), trovando i due punti che realizzano la distanza uguale a 1
(sono $T$ e $T^{'}$, simmetrico di $T$ rispetto all'asse delle $y$;
2) trovare le rette tangenti condotte dall'origine alla circonferenza $x^2+(y-2)^2=3$;
i punti di tangenza sono le soluzioni del problema $T$ e $T^{'}$.
Per la cronaca le due rette tangenti sono $y=\frac{sqrt{3}}{3}x$ e $y=-\frac{sqrt{3}}{3}x$
Francesco Daddi
innanzi tutto grazie a tutti delle vostre risposte veloci
La strada che sto seguendo è quella di Paolo90, anche se non ci sto riuscendo
Dall'equazione y-y0=m(x-x0) ottengo Y=mx+2 che dovrei scrivere poi in forma esplicita per poter utilizzare la formula della distanza punto-retta.
Ci ho provato a esplicitarla ma è venuta fuori una cosa senza senso
La strada che sto seguendo è quella di Paolo90, anche se non ci sto riuscendo
Dall'equazione y-y0=m(x-x0) ottengo Y=mx+2 che dovrei scrivere poi in forma esplicita per poter utilizzare la formula della distanza punto-retta.
Ci ho provato a esplicitarla ma è venuta fuori una cosa senza senso
"netsky3":
La strada che sto seguendo è quella di Paolo90, anche se non ci sto riuscendo
Dall'equazione y-y0=m(x-x0) ottengo Y=mx+2 che dovrei scrivere poi in forma esplicita per poter utilizzare la formula della distanza punto-retta.
Ci ho provato a esplicitarla ma è venuta fuori una cosa senza senso
Allora... il fascio è $y=mx+2$ scritto in forma implicita risulta $mx-y+2=0$.. Fin qui ci siamo? Come mai non riuscivi a esplicitare?
Altro metodo:
al variare del coefficiente angolare $k$ si nota che il punto di intersezione
delle due rette perpendicolari descrive il luogo geometrico avente equazione
$x=frac{2k}{k^2+1} ; y=frac{2k^2}{k^2+1}$;
eliminando $k$ si trova l'equazione
$x^2+(y-1)^2=1$.
Intersecando con la circonferenza di equazione $x^2+y^2=1$ si ricavano i due punti
che realizzano la distanza uguale a $1$.
Francesco Daddi
al variare del coefficiente angolare $k$ si nota che il punto di intersezione
delle due rette perpendicolari descrive il luogo geometrico avente equazione
$x=frac{2k}{k^2+1} ; y=frac{2k^2}{k^2+1}$;
eliminando $k$ si trova l'equazione
$x^2+(y-1)^2=1$.
Intersecando con la circonferenza di equazione $x^2+y^2=1$ si ricavano i due punti
che realizzano la distanza uguale a $1$.
Francesco Daddi
"Paolo90":
[quote="netsky3"] La strada che sto seguendo è quella di Paolo90, anche se non ci sto riuscendo
Dall'equazione y-y0=m(x-x0) ottengo Y=mx+2 che dovrei scrivere poi in forma esplicita per poter utilizzare la formula della distanza punto-retta.
Ci ho provato a esplicitarla ma è venuta fuori una cosa senza senso
Allora... il fascio è $y=mx+2$ scritto in forma implicita risulta $mx-y+2=0$.. Fin qui ci siamo? Come mai non riuscivi a esplicitare?[/quote]boh perchè sarò scemo
hai ragione...cmq sostituendo l'equazione nella formula alla fine viene una cosa assurda che non riesco a risolvere
ottengo m=mx-y-1 ....dove sbaglio??
"netsky3":
[quote="Paolo90"][quote="netsky3"] La strada che sto seguendo è quella di Paolo90, anche se non ci sto riuscendo
Dall'equazione y-y0=m(x-x0) ottengo Y=mx+2 che dovrei scrivere poi in forma esplicita per poter utilizzare la formula della distanza punto-retta.
Ci ho provato a esplicitarla ma è venuta fuori una cosa senza senso
Allora... il fascio è $y=mx+2$ scritto in forma implicita risulta $mx-y+2=0$.. Fin qui ci siamo? Come mai non riuscivi a esplicitare?[/quote]boh perchè sarò scemo
hai ragione...cmq sostituendo l'equazione nella formula alla fine viene una cosa assurda che non riesco a risolvere
ottengo m=mx-y-1 ....dove sbaglio??
[/quote]ma va.. non dire scemenze... non sei scemo... stai tranquillo... comunque non capisco cosa vuoi dire...
Il fascio $mx-y+2=0$, ok? Basta prendere la formula per la distanza e usarla per questo fascio e il punto $O(0,0)$.
Ricorda che è $d=(|ax_0+by_0+c|)/(sqrt(a^2+b^2))$ e sai che $x_0=0$ e $y_0=0$ e dev'essere $d=1$... quindi...
se hai ancora dubbi non ti far problemi, mi raccomando...
ma a^2 + b^2 sotto radice vuol dire: m+1???
quindi sopra |mx-y+2| e al denominatore, sotto radice m+1, tutto uguale messo uguale a 1?
se è cosi non riesco a risolverlo.
P.S. come fate a scrivere i simboli matematici??[/code]
quindi sopra |mx-y+2| e al denominatore, sotto radice m+1, tutto uguale messo uguale a 1?
se è cosi non riesco a risolverlo.
P.S. come fate a scrivere i simboli matematici??[/code]
Andiamo per ordine:
Basta racchiuderli tra il simbolo "dollaro" (shift + 4). Per esempio $a^2$. Puoi trovare una guida alla scrittura delle formule nella sezione "Il nostro forum".
$sqrt(a^2+b^2)=sqrt(m^2+1)$... occhio al quadrato... l'equazione da risolvere è $|(m*0-0+2)|/sqrt(m^2+1)$ cioè .... se hai ancora dubbi posta...
Paolo
"netsky3":
P.S. come fate a scrivere i simboli matematici??
Basta racchiuderli tra il simbolo "dollaro" (shift + 4). Per esempio $a^2$. Puoi trovare una guida alla scrittura delle formule nella sezione "Il nostro forum".
"netsky3":
ma a^2 + b^2 sotto radice vuol dire: m+1???
quindi sopra |mx-y+2| e al denominatore, sotto radice m+1, tutto uguale messo uguale a 1?
$sqrt(a^2+b^2)=sqrt(m^2+1)$... occhio al quadrato... l'equazione da risolvere è $|(m*0-0+2)|/sqrt(m^2+1)$ cioè .... se hai ancora dubbi posta...
Paolo
Anke il metodo circonferenza e tangente è buono....
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