Fascio di quadriche

[13nebur13-votailprof]

vi vorrei porre un problema che non riesco proprio a risolvere..
scrivere il fascio di quadriche contenente la circonferenza C: (x[*2])/2 + (y[*2])/2 -x = 0
passante per (0,0,1,0)
e contenente la retta definita dal sistema di eq : 1) x - y =0
2) z - y + 1 = 0

[vittorino70]

Occorrerebbero alcune precisazioni.La circonferenza non può essere indicata con una sola equazione ma con due.
Il punto P(0,0,1,0) ,che penso sia improprio ,segue la notazione ( x,y,z,t) o quella (t,x,y,z) ( che
alcuni indicano con \( (x_0,x_1,x_2,x_3)\) ? Arbitrariamente mi permetto di fare qualche aggiustamento.
Potrai sempre correggere con dati esatti.
Le equazioni della circonferenza siano:
\( \begin{cases} x^2+y^2+z^2-2x=0 \\ z=0 \end{cases} \)
Per il punto P seguo la prima notazione.
Ciò fatto scrivo l'equazione della generica quadrica passante per la conica :
\(x^2+y^2+z^2-2xt+z(ax+by+cz+dt)=0 \)
Impongo il passaggio per P e trovo c=-1 e quindi,tornando alle coordinate non omogenee,l'equazione diventa:
(1) \(x^2+y^2-2x+z(ax+by+d)=0 \)
Impongo il passaggio per la retta data (x=y,z=y-1):
\( y^2+y^2-2y +(y-1)(ay+by+d)\)
Oppure :
\((a+b+2)y^2-(a+b-d+2)y-d=0\)
Dovendo quest'ultima equazione essere verificata per ogni valore di y, deve risultare :
d=0,b=-a-2
Pertanto l'equazione (1) si modifica così:
\( x^2+y^2-2x+z(ax-(a+2)y)=0\)
Volendo dare un aspetto più ...professionale al risultato possiamo porre \( a=\frac{\mu}{\lambda}\)
e così l'equazione del fascio diventa:
\(\ \lambda(x^2+y^2-2yz-2x)+\mu(xz-yz)=0\)
Ciao.