Fascio Di Piani

[M.C.D.1]

Salve ^^
Chiedo a voi delucidazioni circa il seguente esercizio:

Verificare se i tre piani di equazioni assegnate appartengono o no ad uno stesso fascio:

[tex]p: X - Y + Z = 0 \\ p': - X + 3Y - 5Z + 2 = 0 \\ p'': Y - 2Z + 1 = 0[/tex]

Io Ho Svolto l'esercizio nel seguente modo:

So che dati due piani AX + BY + CZ + D = 0 e A'X + B'Y + C'Z + D' = 0 appartenenti ad uno stesso fascio, tutti gli altri piani appartenenti al fascio avranno equazione cartesiana:

[tex]\lambda (AX + BY + CZ + D) + \mu (A'X + B'Y + C'Z + D') = 0[/tex] per opportuni [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex]

Quindi nel caso specifico, prendendo i primi due piani dati avro':

[tex]\lambda (X - BY + Z ) + \mu (-X + 3Y - 5Z + 2) = 0[/tex]

dopodiche' ho eseguito i calcoli e mi ritrovo:

[tex](\lambda - \mu)X + (3\mu - \lambda)Y + (\lambda - 5\mu)Z + 2\mu = 0[/tex]

A Questo Punto Ho Eguagliato i Coefficienti Delle Indeterminate Di Questa Equazione Con I Coefficienti Dell'Equazione Del Terzo Piano Dato
Ed Ho Trovato i Valori Di [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex] che mi danno il terzo piano, ovvero [tex]\lambda = \mu = 1/2[/tex]
Quindi I tre piani appartengono ad uno stesso fascio.

Il Procedimento e' corretto? oppure ho detto stupidaggini?

Grazie Anticipatamente

[cirasa]

Tutto giusto.
Ovviamente si tratta di un fascio di piani tutti passanti per la stessa retta $r:{(X-Y+Z=0),(-X+3Y-5Z+2=0):}$

[M.C.D.1]

Ti Ringrazio Per La Conferma
Perche' Purtroppo sul testo diceva che non appartenevano ad uno stesso fascio e quindi non sapevo se era un mio errore o un errore del testo ^^