Fascio Di Piani

M.C.D.1
Salve ^^
Chiedo a voi delucidazioni circa il seguente esercizio:

Verificare se i tre piani di equazioni assegnate appartengono o no ad uno stesso fascio:

[tex]p: X - Y + Z = 0 \\ p': - X + 3Y - 5Z + 2 = 0 \\ p'': Y - 2Z + 1 = 0[/tex]

Io Ho Svolto l'esercizio nel seguente modo:

So che dati due piani AX + BY + CZ + D = 0 e A'X + B'Y + C'Z + D' = 0 appartenenti ad uno stesso fascio, tutti gli altri piani appartenenti al fascio avranno equazione cartesiana:

[tex]\lambda (AX + BY + CZ + D) + \mu (A'X + B'Y + C'Z + D') = 0[/tex] per opportuni [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex]

Quindi nel caso specifico, prendendo i primi due piani dati avro':

[tex]\lambda (X - BY + Z ) + \mu (-X + 3Y - 5Z + 2) = 0[/tex]

dopodiche' ho eseguito i calcoli e mi ritrovo:

[tex](\lambda - \mu)X + (3\mu - \lambda)Y + (\lambda - 5\mu)Z + 2\mu = 0[/tex]

A Questo Punto Ho Eguagliato i Coefficienti Delle Indeterminate Di Questa Equazione Con I Coefficienti Dell'Equazione Del Terzo Piano Dato
Ed Ho Trovato i Valori Di [tex]\lambda[/tex] e [tex]\mu[/tex] che mi danno il terzo piano, ovvero [tex]\lambda = \mu = 1/2[/tex]
Quindi I tre piani appartengono ad uno stesso fascio.

Il Procedimento e' corretto? oppure ho detto stupidaggini?

Grazie Anticipatamente

Risposte
cirasa
Tutto giusto.
Ovviamente si tratta di un fascio di piani tutti passanti per la stessa retta $r:{(X-Y+Z=0),(-X+3Y-5Z+2=0):}$

M.C.D.1
Ti Ringrazio Per La Conferma :)
Perche' Purtroppo sul testo diceva che non appartenevano ad uno stesso fascio e quindi non sapevo se era un mio errore o un errore del testo ^^

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