Fascio di piani

[Ring89]

Salve a tutti,


vorrei chiedervi cortesemente una mano per questo esercizio:


Dato il sistema composto da queste tre equazioni:

x+cy+z=c
cx+(c^2+1)y+(c+1)z=c^2
x+(c+1)y+2z=c+1-c^2

c= parametro reale


vorre sapere per quali valori questo sistema rappresenta 3 piani di un fascio

Grazie anticipatamente.

[Sk_Anonymous]

Poiché bastano solo due piani ( distinti) per individuare un fascio di piani,è necessario e sufficiente
che una delle 3 equazioni sia una combinazione lineare delle rimanenti.Ciò si può ottenere in diversi modi.
Per esempio si può imporre che la matrice incompleta e quella completa del sistema abbiano entrambe
rango uguale a due.Con calcoli che ti consiglio di fare per esercizio,si trova che la matrice incompleta ha già
rango due ( per qualunque valore di c) mentre la matrice completa ha tale rango solo per $c=-+1$ che sono i valori richiesti.