Fascio di coniche, dubbio irrisolvibile.
Salve ragazzi, non riesco a sciogliere i miei dubbi su come determinare i punti base di un fascio di coniche.
Ad esempio ho questo esercizio:
-dato il fascio di coniche $ kx^2 + 2x_1x_2 - kx_3^2 = 0 $ determinarne i punti base.
La soluzione offerta dal mio libro è la seguente: intersecndo due coniche del fascio, ad esempio mettendo a sistema $ 2x_1x_2 = 0 $ e $ x_1^2 - x_3^2 = 0 $ si ottengono i punti $ (0,1,0) con M=2, (1,0,1) con M=1, (1,0,-1) con M=1 $ quel che non riesco a capire io è come si deve risolvere il sistema con le due coniche in quanto è un sistema di tre incognite in due equazioni. Vi prego di darmi una mano è un dubbio che non sono mai riuscito a sciogliere
Ad esempio ho questo esercizio:
-dato il fascio di coniche $ kx^2 + 2x_1x_2 - kx_3^2 = 0 $ determinarne i punti base.
La soluzione offerta dal mio libro è la seguente: intersecndo due coniche del fascio, ad esempio mettendo a sistema $ 2x_1x_2 = 0 $ e $ x_1^2 - x_3^2 = 0 $ si ottengono i punti $ (0,1,0) con M=2, (1,0,1) con M=1, (1,0,-1) con M=1 $ quel che non riesco a capire io è come si deve risolvere il sistema con le due coniche in quanto è un sistema di tre incognite in due equazioni. Vi prego di darmi una mano è un dubbio che non sono mai riuscito a sciogliere
Risposte
Premetto che non so cosa siano i punti base di un fascio di coniche. Ti do una mano per quanto riguarda il sistema.
\[\begin{cases} x = \pm \sqrt{z} \\ xy=0 \end{cases}\]
E' un sistema con 3 incognite e 2 equazioni ma tu non devi estrarne una soluzione numerica ma devi trovare lo spazio delle soluzioni. Operativamente parlando (indico le variabili con $x,y,z$ per comodità) dalla prima equazione possiamo estrarre il valore di $x$:\[x = \pm \sqrt{z}\]
Consideriamo il sistema "con il $+$":
\[\begin{cases} x = \sqrt{z} \\ xy=0 \end{cases}\]
Chiediamoci: come sono fatti i vettori che soddisfano i vincoli imposti da queste equazioni?
Beh, poniamo $x=1$, di conseguenza $z=1$. Dato che $xy$ dev'essere $0$, dato che $x \ne 0$ allora $y=0$. Abbiamo così trovato il secondo vettore. Il primo vettore lo troviamo imponendo $x=0$.
Il terzo lo troviamo considerando il sistema "con il $-$" e il ragionamento è analogo al primo vettore che abbiamo trovato.
Spero di non aver fatto troppa confusione e di essermi spiegato
\[\begin{cases} x = \pm \sqrt{z} \\ xy=0 \end{cases}\]
E' un sistema con 3 incognite e 2 equazioni ma tu non devi estrarne una soluzione numerica ma devi trovare lo spazio delle soluzioni. Operativamente parlando (indico le variabili con $x,y,z$ per comodità) dalla prima equazione possiamo estrarre il valore di $x$:\[x = \pm \sqrt{z}\]
Consideriamo il sistema "con il $+$":
\[\begin{cases} x = \sqrt{z} \\ xy=0 \end{cases}\]
Chiediamoci: come sono fatti i vettori che soddisfano i vincoli imposti da queste equazioni?
Beh, poniamo $x=1$, di conseguenza $z=1$. Dato che $xy$ dev'essere $0$, dato che $x \ne 0$ allora $y=0$. Abbiamo così trovato il secondo vettore. Il primo vettore lo troviamo imponendo $x=0$.
Il terzo lo troviamo considerando il sistema "con il $-$" e il ragionamento è analogo al primo vettore che abbiamo trovato.
Spero di non aver fatto troppa confusione e di essermi spiegato
Solo una cosa, trovando che $ x=/ 0 $ il prodotto $ xy=0 $ come fa a dare $ y=1 $ ? se al posto di quella $ x $ ci mettessimo 50, $ 50y $ non mi darà sempre e solo $ y=0 $ ??
Se poni $x \ne 0$ $y$ può assumere qualsiasi valore che tanto il prodotto sarà sempre zero. Scegliamo un valore a caso $y=1$. Questo lo facciamo solo quando $x=0$!
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