Fascio con 3punti base?
Ciao!
In un passaggio di un esercizio mi viene chiesto di trovare i punti base del fascio.
Precedentemente avevo individuato il fascio e questo risulta composto da un' iperbole e da una conica degenere scomponibile in due rette.
Ora, sapendo che i punti base del fascio si hanno intersecando le due coniche generatrici del fascio, ne ho fatto il sistema.
Il problema è che ottengo 3 punti tutti aventi molteplicità 1. Come è possibile?
- Ho pensato che, dal punto di vista algebrico il sistema è ovviamente di 4° grado e dovrebbe pertanto darmi 4punti. Quindi qui la cosa non mi torna, anche perché non ho neppure punti immaginari.
- In secondo luogo sembrerebbe allora che la seconda conica, cioè quella degenere sia inclusa nella prima.
- Il quarto punto potrebbe essere quello improprio?
Qualcuno ha un'idea? Eventualmente aiutandomi a risolvere la questione almeno dal punto di vista algebrico (cioè quando un sistema di 4°grado dà 3 punti?)
Grazie
Il fascio è dato da queste due coniche (fornite proprio dal testo stesso, quindi qui non ci possono essere eventuali miei errori):
[tex]C_1: x^2 - 4y^2 -3x + y + 2 = 0[/tex]
[tex]C_2: 2y^2 + xy - 2y = 0[/tex]
In un passaggio di un esercizio mi viene chiesto di trovare i punti base del fascio.
Precedentemente avevo individuato il fascio e questo risulta composto da un' iperbole e da una conica degenere scomponibile in due rette.
Ora, sapendo che i punti base del fascio si hanno intersecando le due coniche generatrici del fascio, ne ho fatto il sistema.
Il problema è che ottengo 3 punti tutti aventi molteplicità 1. Come è possibile?
- Ho pensato che, dal punto di vista algebrico il sistema è ovviamente di 4° grado e dovrebbe pertanto darmi 4punti. Quindi qui la cosa non mi torna, anche perché non ho neppure punti immaginari.
- In secondo luogo sembrerebbe allora che la seconda conica, cioè quella degenere sia inclusa nella prima.
- Il quarto punto potrebbe essere quello improprio?
Qualcuno ha un'idea? Eventualmente aiutandomi a risolvere la questione almeno dal punto di vista algebrico (cioè quando un sistema di 4°grado dà 3 punti?)
Grazie
Il fascio è dato da queste due coniche (fornite proprio dal testo stesso, quindi qui non ci possono essere eventuali miei errori):
[tex]C_1: x^2 - 4y^2 -3x + y + 2 = 0[/tex]
[tex]C_2: 2y^2 + xy - 2y = 0[/tex]
Risposte
Forse ho capito ...
Interseco le due coniche ma lasciandole in coordinate omogenee [tex](x_1, x_2, x_3)[/tex]
Allora ottengo [tex]A=(2x_3 , 0, x_3); \ B=(x_3, 0, x_3); \ C=(2x_3, 0, x_3); \ D=(-2x_2, x_2, 0)[/tex]
Quindi ho 4 punti -> veramente 3 di cui uno con molteplicità 2 (A=C).
Perciò D è un punto improprio! Era lui che mi mancava.
Potete dirmi se il ragionamento è corretto?
Interseco le due coniche ma lasciandole in coordinate omogenee [tex](x_1, x_2, x_3)[/tex]
Allora ottengo [tex]A=(2x_3 , 0, x_3); \ B=(x_3, 0, x_3); \ C=(2x_3, 0, x_3); \ D=(-2x_2, x_2, 0)[/tex]
Quindi ho 4 punti -> veramente 3 di cui uno con molteplicità 2 (A=C).
Perciò D è un punto improprio! Era lui che mi mancava.
Potete dirmi se il ragionamento è corretto?
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