Fasci di coniche

[ROMA911]

Riesco a fare gli esercizi - forse, troppo macchinalmente -, ma non a capire quanto dice il prof.. Prendo dagli appunti. Ha appena introdotto i fasci di coniche: $ \lambdaf+\mug = 0$. E dice: " siano $L = 0$ ed $M = 0$ le tangenti di $\gamma$ nei suoi due punti impropri $P$ e $Q$ - reali o complessi coniugati -. La conica $\gamma$ appartiene al fascio di coniche aventi in $P$ e $Q$ le tangenti $L = 0$ ed $M = 0$ e, quindi, la sua equazione può scriversi nella forma $LM = \lambda$". Poi, ribadisce di avere scritto $L$ ed $M$, perché si tratta di equazioni di tangenti e non di coniche, che sarebbero $f$ e $g$ Tutti abbiamo scritto così, quindi è corretto, ma nessuno è riuscito a capire, cioè non riesco a capire come - nel caso particolare considerato dal prof. - $ \lambdaf+\mug = 0$ si "specializzi" in $LM = \lambda$. Capisco che punto improprio implica - in coordinate omogenee - $x_3 = 0$ e mi è abbastanza chiaro come si utilizzino le tangenti per semplificare la scrittura della generica equazione del fascio di coniche, ma perché $LM = \lambda$? Qualcuno, gentilmente, può aiutarmi a capire da dove viene fuori? Grazie $oo$

[ROMA911]

Provo a riformulare il mio dubbio per vedere se riesco a essere più chiaro. Soprattutto nei confronti di chi potrà aiutarmi. L'equazione del fascio di coniche scritta come $LM = \lambda$, dove $LM = 0$ rappresenta, evidentemente, una conica prodotto delle equazioni di due tangenti nei punti impropri della conica stessa e ha - ovviamente - necessità - per poter rappresentare un fascio - di una seconda equazione e questa, in questo caso, non può che essere la retta impropria contata due volte, cioè $x_3^2 = 0$. Così, $LM = \lambda$ si spiega come $LM = \lambdax_3^2$. E' chiaro che, se divido ambo i membri per $x_3^2$, ottengo $LM = \lambda$ in coordinate non più omogenee. Molte volte il prof. risulta volutamente criptico per invogliarci a riflettere. Ma è lecito dividere per $x_3^2$, posto che $x_3^2 = 0$, dato che si considera proprio la retta impropria? Grazie $oo$ a chi potrà fornirmi qualche chiarimento.