Famiglia di endomorfismi $epsilon$
ho risolto un problema.però non sono sicuro circa la correttezza della soluzione.
determinare la famiglia $epsilon$ di endomorfismi di $V$ aventi $W$ come autospazio associato all'autovalore $2$.
dove
$W=VnnT$
$V={((x,y),(z,t))inRR^(2,2)| 3x+y+z-t=0}$
$T={XinRR^(2,2)|tr(X)=0}$
ho risolso il seguente quesito in questa maniera.considerando la definizione di autospazio si ha $W_2={winW|epsilon(w)=2w}$
ovvero la famiglia di endomorfismi sono tutti quegli endomorfismi tale che $epsilon((-t,4t-z),(z,t))=2((-t,4t-z),(z,t))$
ovvero l'immagine del generico elemento di $W$ (calcolato in precedenza) è uguale a due volte il generico elemento di $W$.
[edit]
correggo l'esercizio perché forse a mio avviso ho commesso una svista.
l'endomorfismo così definito non è ben definito perché in questo modo ho definito l'immagine però rispetto alla base di $W=(w_1,w_2)$ che ha dimensione $2$.devo completare quindi ad una base di $V$.prendo allora l'elemento di $V$ e considero l'immagine
$epsilon((-t,4t-z),(z,t))=2((-t,4t-z),(z,t))$
$epsilon((x,y),(z,3x+y+z))=((x,y),(z,3x+y+z))$
questa dovrebbe essere la famiglia $epsilon$ di endomorfismi verificanti la condizione.
l'esercizio poi continua chiedendomi di caratterizzare quelli non diagonalizzabili
risolvo l'esercizio considerando il fatto che un endomorfismo è non diagonalizzabile quando $V$ non ha una base di autovettori ovvero quando si ha
$f(xw_1+yw_2)=2(xw_1+yw_2)$
ovviamente attendo con ansia il responso dai piani alti.vi prego confermate o smentite le mie parole.
determinare la famiglia $epsilon$ di endomorfismi di $V$ aventi $W$ come autospazio associato all'autovalore $2$.
dove
$W=VnnT$
$V={((x,y),(z,t))inRR^(2,2)| 3x+y+z-t=0}$
$T={XinRR^(2,2)|tr(X)=0}$
ho risolso il seguente quesito in questa maniera.considerando la definizione di autospazio si ha $W_2={winW|epsilon(w)=2w}$
ovvero la famiglia di endomorfismi sono tutti quegli endomorfismi tale che $epsilon((-t,4t-z),(z,t))=2((-t,4t-z),(z,t))$
ovvero l'immagine del generico elemento di $W$ (calcolato in precedenza) è uguale a due volte il generico elemento di $W$.
[edit]
correggo l'esercizio perché forse a mio avviso ho commesso una svista.
l'endomorfismo così definito non è ben definito perché in questo modo ho definito l'immagine però rispetto alla base di $W=(w_1,w_2)$ che ha dimensione $2$.devo completare quindi ad una base di $V$.prendo allora l'elemento di $V$ e considero l'immagine
$epsilon((-t,4t-z),(z,t))=2((-t,4t-z),(z,t))$
$epsilon((x,y),(z,3x+y+z))=((x,y),(z,3x+y+z))$
questa dovrebbe essere la famiglia $epsilon$ di endomorfismi verificanti la condizione.
l'esercizio poi continua chiedendomi di caratterizzare quelli non diagonalizzabili
risolvo l'esercizio considerando il fatto che un endomorfismo è non diagonalizzabile quando $V$ non ha una base di autovettori ovvero quando si ha
$f(xw_1+yw_2)=2(xw_1+yw_2)$
ovviamente attendo con ansia il responso dai piani alti.vi prego confermate o smentite le mie parole.
Risposte
Non si vedono più le formule
"weblan":
Non si vedono più le formule
già niente più formule.sarà un problema al server.
Ora provo a scrivere la legge generale:
$\epsilon((x,y),(z,3x+y+z))=((2x+a(4x+y+z),2y+b(4x+y+z)),(-8x-2y+c(4x+y+z),-2x+(a+b+c)(4x+y+z)))$
con $(a,b,c)inRR^3-{(0,0,2)}$
$\epsilon((x,y),(z,3x+y+z))=((2x+a(4x+y+z),2y+b(4x+y+z)),(-8x-2y+c(4x+y+z),-2x+(a+b+c)(4x+y+z)))$
con $(a,b,c)inRR^3-{(0,0,2)}$
Usate delle scritture talmente diverse dalle mie che mi viene il mal di testa a cercare di capire se i risultati coincidono.
Comunque, ripensandoci ho detto una scemenza, l'esempio di weblan è esattamente il caso particolare per cui gli endomorfismi di $epsilon$ sono diagonalizzabili, cioè se $a=b=0$, $c=2$. Negli altri casi se $c=2$, $a vv b != 0$ l'endomorfismo non è diagonalizzabile. Spero siano queste le vostre conclusioni.
In ogni caso la dimensione dello spazio affine $epsilon$ penso si possa dire essere $3$, essendo isomorfo a un sottospazio affine $M + A$ dello spazio di matrici $3x3$ la cui generica matrice è quella che ho scritto con $a,b,c$ (e anche qui forse avevo detto una scemenza,dicendo che è un sottospazio vettoriale).
$M= ( ( 0 , 0 , a ),( 0 , 0 , b ),( 0 , 0 , c ) ) $ $A= ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Quello che ancora non mi convince è il fatto che le condizioni imposte dipendono dalla scelta del vettore della base rispetto cui io scrivo la matrice generica di $M+A$, ci devo pensare un po' meglio.
Anche se voi mi sembrate essere giunti alla conclusione.
Comunque, ripensandoci ho detto una scemenza, l'esempio di weblan è esattamente il caso particolare per cui gli endomorfismi di $epsilon$ sono diagonalizzabili, cioè se $a=b=0$, $c=2$. Negli altri casi se $c=2$, $a vv b != 0$ l'endomorfismo non è diagonalizzabile. Spero siano queste le vostre conclusioni.
In ogni caso la dimensione dello spazio affine $epsilon$ penso si possa dire essere $3$, essendo isomorfo a un sottospazio affine $M + A$ dello spazio di matrici $3x3$ la cui generica matrice è quella che ho scritto con $a,b,c$ (e anche qui forse avevo detto una scemenza,dicendo che è un sottospazio vettoriale).
$M= ( ( 0 , 0 , a ),( 0 , 0 , b ),( 0 , 0 , c ) ) $ $A= ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) )$
Quello che ancora non mi convince è il fatto che le condizioni imposte dipendono dalla scelta del vettore della base rispetto cui io scrivo la matrice generica di $M+A$, ci devo pensare un po' meglio.
Anche se voi mi sembrate essere giunti alla conclusione.
"Giuly19":
Comunque, ripensandoci ho detto una scemenza, l'esempio di weblan è esattamente il caso particolare per cui gli endomorfismi di $epsilon$ sono diagonalizzabili, cioè se $a=b=0$, $c=2$. Negli altri casi se $c=2$, $a vv b != 0$ l'endomorfismo non è diagonalizzabile. Spero siano queste le vostre conclusioni.
Non hai detto una scemenza.
In uno dei posti precedenti avevo inserito un endomorfismo di $V$, però in quel caso è un endomorfismo che va bene però non è il più generale, questo perchè sulla base di $W$ l'ho fatto agire in un modo ben preciso e non generico.
Prendendo a cuore la generalità della famiglia $\epsiloninEnd(V)$ ho sviluppato il seguente ragionamento:
Sappiamo che $W=
Il generico vettore $vinV$ si può esprimere nel seguente modo:
$v=\alphaw_1+\betaw_2+\gammav_1$, quindi
$\epsilon(v)=\alpha\epsilon(w_1)+\beta\epsilon(w_2)+\gamma\epsilon(v_1)$
Ora bisogna precisare che $\epsilon(v_1)=a(w_1)+b(w_2)+c(v_1)$ con $(a,b,c)inRR^3-{(0,0,2)}$
Riprendendo le relazioni precedenti possiamo scrivere:
$\epsilon(v)=\alpha\epsilon(w_1)+\beta\epsilon(w_2)+\gamma(aw_1+bw_2+cv_1)$=
=$2\alphaw_1+2\betaw_2+a\gammaw_1+b\gammaw_2+c\gammav_1$=
=$(2\alpha+a\gamma)w_1+(2\beta+b\gamma)w_2+c\gammav_1$
Calcoliamo la matrice rappresentativa dell'endomorfismo nella base ${w_1,w_2,v_1}$
$v=w_1$ se $\alpha=1$ e $\beta=\gamma=0$
$\epsilon(w_1)=2w_1$
$v=w_2$ se $\beta=1$ e $\alpha=\gamma=0$
$\epsilon(w_2)=2w_2$
$v=v_1$ se $\gamma=1$ e $\alpha=\beta=0$
$\epsilon(v_1)=aw_1+bw_2+cv_1$
La matrice avrà la forma: $A=((2,0,a),(0,2,b),(0,0,c))$
Le radici del polinomio caratteristico sono le soluzioni dell'equazione: $(2-\lambda)^2(c-\lambda)=0$
Per $\lambda=c!=2$ le componenti nella base ${w_1,w_2,v_1}$ a meno di un fattore moltiplicativo non nullo sono:
$((2-c)a, (c-2)b, (2-c)^2)$, con $(a,b,c)inRR^3-{(0,0,2)$
Per $\lambda=2$ le componenti nella base ${w_1,w_2,v_1}$ a meno di un fattore moltiplicativo non nullo sono:
$(1,0,0),(0,1,0)$
Gli endomorfismi diagonalizzabili sono quelli per cui $c!=2!$. Osserviamo anche per per $c=2$ l'endomorfismo è diagonalizzabile però a noi non va bene in quanto il nostro endomorfismo deve rispettare la severa condizione che $W$ deve essere l'autospazio associato all'autovalore $2$.
la tua spiegazione weblan l'ho compresa.sei stato chiarissimo.però siamo giunti alla conclusione che per $c=2$ e [tex]\displaystyle {c}\ne{2}![/tex] gli endomorfismi sono diagonalizzabili.ma l'esercizio mi chiedeva di caratterizzare quelli non diagonalizzabili.
ergo possiamo dire che non esitono quelli non diagonalizzabili?
ergo possiamo dire che non esitono quelli non diagonalizzabili?
No mazzy, e comunque la "severa condizione" di cui parli, weblan, secondo me non esiste.
Mi spiego, un endomorfismo autoaggiunto avente unico autovalore $2$ di molteplicità geometrica e algebrica $3$ fa parte di $epsilon$, infatti la condizione dice che $W$ deve essere autospazio relativo all'autovolare $2$, e anche in quel caso lo è, seppure in quel caso autospazio relativo all'autovalore $2$ è anche $V$ stesso.
Io la vedo così.
Mi spiego, un endomorfismo autoaggiunto avente unico autovalore $2$ di molteplicità geometrica e algebrica $3$ fa parte di $epsilon$, infatti la condizione dice che $W$ deve essere autospazio relativo all'autovolare $2$, e anche in quel caso lo è, seppure in quel caso autospazio relativo all'autovalore $2$ è anche $V$ stesso.
Io la vedo così.
non per correggerti weblan ma io ho sviluppato i calcoli e non giungo alla tua stessa conclusione.
il polinomio caratteristico è questo: $(2-lambda)^2(c-lambda)=0$ (fin qui non ci piove
)
se $lambda=c!=2$ la molteplicità algebrica di $lambda=c$ è pari ad $1$
la matrice diventa allora
$((2-c,0,a),(0,2-c,b),(0,0,0))((x),(y),(z))=0$
svolgendo i conti ottengo come componenti $(-a(2-c),-b(2-c),(2-c)^2)$
se $lambda=c=2$ la molteplicità algebrica di $lambda=2$ è pari a $3$
la matrice diventa $((0,0,a),(0,0,b),(0,0,0))((x),(y),(z))=0$
si ottengono così due vettori rappresentanti le componenti di $W$
$(1,0,0),(0,1,0)$
ed in questo caso l'endomorfismo non è digonalizzabile perché la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore $lambda=2$ non ha dimensione $3$ e quindi molteplicità geometrica pari a $3$
il polinomio caratteristico è questo: $(2-lambda)^2(c-lambda)=0$ (fin qui non ci piove
)se $lambda=c!=2$ la molteplicità algebrica di $lambda=c$ è pari ad $1$
la matrice diventa allora
$((2-c,0,a),(0,2-c,b),(0,0,0))((x),(y),(z))=0$
svolgendo i conti ottengo come componenti $(-a(2-c),-b(2-c),(2-c)^2)$
se $lambda=c=2$ la molteplicità algebrica di $lambda=2$ è pari a $3$
la matrice diventa $((0,0,a),(0,0,b),(0,0,0))((x),(y),(z))=0$
si ottengono così due vettori rappresentanti le componenti di $W$
$(1,0,0),(0,1,0)$
ed in questo caso l'endomorfismo non è digonalizzabile perché la dimensione dell'autospazio associato all'autovalore $lambda=2$ non ha dimensione $3$ e quindi molteplicità geometrica pari a $3$
"weblan":
Osserviamo anche per per $c=2$ l'endomorfismo è diagonalizzabile...
per $c=2$ la molteplicità geometrica è diversa da quella algebrica
Si è così per $c!=2$ è diagonalizzabile.
Vediamo se questa storia è arrivata al termine
a) Se $\lambda=c=2$ e $(a,b)=(0,0)$ è diagonalizzabile ma non rispetta la condizione di $W$.
b) Se $\lambda=c=2$ e $(a,b)!=(0,0)$ è non diagonalizzabile e rispetta la condizione di $W$
c) Se $\lambda=c!=2$ è diagonalizzabile e rispetta la condizione di $W$
La condizione b) è quella che caratterizza gli endomorfismi non diagonalizzabili.
Vediamo se questa storia è arrivata al termine
a) Se $\lambda=c=2$ e $(a,b)=(0,0)$ è diagonalizzabile ma non rispetta la condizione di $W$.
b) Se $\lambda=c=2$ e $(a,b)!=(0,0)$ è non diagonalizzabile e rispetta la condizione di $W$
c) Se $\lambda=c!=2$ è diagonalizzabile e rispetta la condizione di $W$
La condizione b) è quella che caratterizza gli endomorfismi non diagonalizzabili.
dopo che abbiamo tutti espresso la nostra mi recherò appositamente nello studio del mio prof per farlo vedere a lui in modo che lui e solo lui possa dare un'interpretazione corretta.non vi preoccupate. vi farò sapere. 
in un altro post ho postato un esercizio simile.dategli un occhiate se potete
in un altro post ho postato un esercizio simile.dategli un occhiate se potete
"weblan":
Dopo aver visto per l'$n-esima$ volta il post, tiro la conclusione anche alla luce della terna ($a,b,c)$
Se $\lambda=c=2$ e $(a,b)=(0,0)$ è diagonalizzabile ma non rispetta la condizione di $W$.
Se $\lambda=c!=2$ e $(a,b)!=(0,0)$ è non diagonalizzabile e rispetta la condizione di $W$
Conclusione, mai diagonalizzabile!
Perchè? Se $c!=2$ e $(a,b)!=(0,0)$ per quale motivo non dovrebbe essere diagonalizzabile?
"Giuly19":
Perchè? Se $c!=2$ e $(a,b)!=(0,0)$ per quale motivo non dovrebbe essere diagonalizzabile?
questo post sta diventando la storia infinita.
per me per $c!=2$ è diagonalizzabile.resto di questo parere
Si è così per $c!=2$ è diagonalizzabile.
Vediamo se questa storia è arrivata al termine
a) Se $\lambda=c=2$ e $(a,b)=(0,0)$ è diagonalizzabile ma non rispetta la condizione di $W$.
b) Se $\lambda=c=2$ e $(a,b)!=(0,0)$ è non diagonalizzabile e rispetta la condizione di $W$
c) Se $\lambda=c!=2$ è diagonalizzabile e rispetta la condizione di $W$
La condizione b) è quella che caratterizza gli endomorfismi non diagonalizzabili.
Vediamo se questa storia è arrivata al termine
a) Se $\lambda=c=2$ e $(a,b)=(0,0)$ è diagonalizzabile ma non rispetta la condizione di $W$.
b) Se $\lambda=c=2$ e $(a,b)!=(0,0)$ è non diagonalizzabile e rispetta la condizione di $W$
c) Se $\lambda=c!=2$ è diagonalizzabile e rispetta la condizione di $W$
La condizione b) è quella che caratterizza gli endomorfismi non diagonalizzabili.
"weblan":
Si è così per $c!=2$ è diagonalizzabile.
Vediamo se questa storia è arrivata al termine
a) Se $\lambda=c=2$ e $(a,b)=(0,0)$ è diagonalizzabile ma non rispetta la condizione di $W$.
b) Se $\lambda=c=2$ e $(a,b)!=(0,0)$ è non diagonalizzabile e rispetta la condizione di $W$
c) Se $\lambda=c!=2$ è diagonalizzabile e rispetta la condizione di $W$
La condizione b) è quella che caratterizza gli endomorfismi non diagonalizzabili.
ok adesso ci siamo.sono super convinto!!!!
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