Famiglia di applicazioni lineari
Ciao a tutti, ho bisogno di un aiuto su questo esercizio:
Determinare, per $ tin [a,b] $, una famiglia di applicazioni lineari $ f_t:RR^2toRR^2 $ tali che: $ f_a $= identità, $ f_b=f $ e rango $ f_t=2 $ per ogni $ tin [a,b] $.
Non capisco proprio cosa debba fare per determinare $f_t$.
Precedentemente nello stesso esercizio mi era stato chiesto di trovare l'applicazione lineare $ f:RR^2 to RR^2 $, che mi sono già calcolata e ho trovato essere:
$ f(x,y)=(-sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y; sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y) $
Grazie
Determinare, per $ tin [a,b] $, una famiglia di applicazioni lineari $ f_t:RR^2toRR^2 $ tali che: $ f_a $= identità, $ f_b=f $ e rango $ f_t=2 $ per ogni $ tin [a,b] $.
Non capisco proprio cosa debba fare per determinare $f_t$.
Precedentemente nello stesso esercizio mi era stato chiesto di trovare l'applicazione lineare $ f:RR^2 to RR^2 $, che mi sono già calcolata e ho trovato essere:
$ f(x,y)=(-sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y; sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y) $
Grazie
Risposte
Sei d'accordo che, fissato $k in RR^+$ l'applicazione $g: RR^2 -> RR^2$ definita da $g(x,y)= (kx,ky)$ è isomorfismo?
So che un'applicazione lineare quando è biiettiva si dice isomorfa, però non capisco il suggerimento...
Beh, si potrebbe prendere qualcosa di simile a $f_t(x,y)= (tx,ty)$.
Proviamo a creare la funzione:
$(((b-t)/(b-a)- sqrt(2)/2(t-a)/(b-a),sqrt(2)/2(t-a)/(b-a)),(-sqrt(2)/2(t-a)/(b-a),(b-t)/(b-a)-sqrt(2)/2(t-a)/(b-a)))$
Dai un occhio se funziona!
$(((b-t)/(b-a)- sqrt(2)/2(t-a)/(b-a),sqrt(2)/2(t-a)/(b-a)),(-sqrt(2)/2(t-a)/(b-a),(b-t)/(b-a)-sqrt(2)/2(t-a)/(b-a)))$
Dai un occhio se funziona!
Mi dispiace, ma non sto capendo 
Non è che parto da zero, però è la prima volta che mi trovo tra le mani un esercizio di questa tipologia, solitamente quelli che ho sempre svolto fino ad ora si limitavano a chiedere di trovare un'applicazione lineare date delle basi e simili. Quello che proprio non riesco a capire è quello che mi chiede la consegna, ad esempio, cos'è $t$? $f_a$ ed $f_b$ suppongo si determinino dall'applicazione $f$ che avevo già calcolato, ma come è possibile "modificarla"? @Maci86 cosa sono $(b-t)/(b-a)$ e $(t-a)/(b-a)$?
Scusate se vi sto tartassando!
Non è che parto da zero, però è la prima volta che mi trovo tra le mani un esercizio di questa tipologia, solitamente quelli che ho sempre svolto fino ad ora si limitavano a chiedere di trovare un'applicazione lineare date delle basi e simili. Quello che proprio non riesco a capire è quello che mi chiede la consegna, ad esempio, cos'è $t$? $f_a$ ed $f_b$ suppongo si determinino dall'applicazione $f$ che avevo già calcolato, ma come è possibile "modificarla"? @Maci86 cosa sono $(b-t)/(b-a)$ e $(t-a)/(b-a)$?Scusate se vi sto tartassando!
Dimentica un attimo il problema. Ti chiedo di rispondere a questa domanda:
"Gi8":
Sei d'accordo che, fissato $k in RR^+$ l'applicazione $g: RR^2 -> RR^2$ definita da $g(x,y)= (kx,ky)$ è isomorfismo?
Sì sono d'accordo
bene. Allora che ne dici di $f_t(x,y)=(tx,ty)$ per ogni $t in [a,b]$?
A questo punto devo scegliere un valore per $t$ tale che rispetti le regole della consegna? Cioè per $b$ viene chiesto che $f_b=f$, quindi in tal caso mi verrebbe naturale scegliere $b=1$, in modo da avere $f_b(x,y)=(x,y)$...
ma non era $a$?
Forse ho interpretato male, quindi prima vedo se ho capito giusto il primo pezzo.
Ho $f(x,y)=(-sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y, sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y)$, e abbiamo deciso che la struttura di $f_t$ sia $f_t(x,y)=(tx,ty)$ per $tin[a,b]$, quindi sarebbe $f_t(x,y)=t(-sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y, sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y)$?
Ho $f(x,y)=(-sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y, sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y)$, e abbiamo deciso che la struttura di $f_t$ sia $f_t(x,y)=(tx,ty)$ per $tin[a,b]$, quindi sarebbe $f_t(x,y)=t(-sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y, sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y)$?
Boh, non capisco perchè devono venire fuori quei $sqrt2/2$.
Allora, se $a=1$ definiamo $f_t(x,y)=(tx,ty)$ per ogni $t in [a,b]$ e abbiamo finito.
Se $a!=1$ dobbiamo ricondurci a qualcosa di simile:
Vediamo se $f_t(x,y)= ((t-a+1)x,(t-a+1)y)$ per ogni $t in [a,b]$ può andare bene:
$f_a(x,y)=(x,y)$, dunque $f_a-=id$.
Dato che $t>=a$, $t-a+1>=1$, dunque tutti i parametri sono positivi.
Quindi questa è una possibile soluzione. Fine.
Allora, se $a=1$ definiamo $f_t(x,y)=(tx,ty)$ per ogni $t in [a,b]$ e abbiamo finito.
Se $a!=1$ dobbiamo ricondurci a qualcosa di simile:
Vediamo se $f_t(x,y)= ((t-a+1)x,(t-a+1)y)$ per ogni $t in [a,b]$ può andare bene:
$f_a(x,y)=(x,y)$, dunque $f_a-=id$.
Dato che $t>=a$, $t-a+1>=1$, dunque tutti i parametri sono positivi.
Quindi questa è una possibile soluzione. Fine.
Ma se $t in [a,b]$ il minimo valore che può assumere non è $a$? E quindi $t-a$ è come scrivere $a-a$?
Sì, dunque se $t=a$ abbiamo $t-a+1=1$.
PS: ho corretto il messaggio precedente
PS: ho corretto il messaggio precedente
Ah ok grazie mille, ora mi è più chiaro, però pensavo che la funzione di riferimento fosse quella che avevo trovato precedentemente, quella con i $sqrt(2)/2$.
Ora mancherebbe solo capire per quale $b$ $f_b=f$. Dovrei partire ancora dall'applicazione di riferimento di prima $f_t(x,y)=(tx,ty)$ giusto?
Ora mancherebbe solo capire per quale $b$ $f_b=f$. Dovrei partire ancora dall'applicazione di riferimento di prima $f_t(x,y)=(tx,ty)$ giusto?
Sai che mi accorgo solo ora (e ti chiedo scusa per questo) che si dovesse avere $f_b(x,y)= f(x,y)$ con $f$ definita come nel tuo primo post?
Forse allora la mia soluzione va accantonata. Si potrebbe "pezzare" definendo $f_t(x,y)=((t-a+1)x,(t-a+1)y)$ per $t in [a,b)$ e $f_t(x,y)= (-sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y; sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y) $ per $t=b$.
Però non è molto elegante, e sicuramente l'esercizio non chiede questo.
A 'sto punto forse è meglio seguire la strada proposta da Maci86.
Forse allora la mia soluzione va accantonata. Si potrebbe "pezzare" definendo $f_t(x,y)=((t-a+1)x,(t-a+1)y)$ per $t in [a,b)$ e $f_t(x,y)= (-sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y; sqrt(2)/2x-sqrt(2)/2y) $ per $t=b$.
Però non è molto elegante, e sicuramente l'esercizio non chiede questo.
A 'sto punto forse è meglio seguire la strada proposta da Maci86.
Fa niente, capita a tutti 
Ora però la soluzione di Maci86 non l'ho capita... Scusate se sto facendo impazzire mezzo mondo con quest'esercizio
Ora però la soluzione di Maci86 non l'ho capita... Scusate se sto facendo impazzire mezzo mondo con quest'esercizio
"laurelda":
@Maci86 cosa sono $(b-t)/(b-a)$ e $(t-a)/(b-a)$?
Scusate se vi sto tartassando!
Tranquilla, io cercavo una combinazione lineare tale che una volta applicata in $a$ desse l'identità e in $b$ desse la tua matrice funzione. Allora cosa ho fatto, chiamata t la variabile, devo fare in modo che quando sono in $a$ rimanga il solo termine dell'identità, $(b-t)/(b-a)$, fa al caso nostro perché vale 1 in a e 0 in b e quindi moltiplico i valori dell'identità per quel coefficiente:
$(((b-t)/(b-a), 0),(0,(b-t)/(b-a)))$
Invece i valori di $f$ devono comparire in $b$, devo quindi trovare un coefficiente che in b valga 1 e in a valga 0, quindi $(t-a)/(b-a)$ viene in nostro soccorso e lo applico ai valori della matrice della funzione.
$((-sqrt(2)/2 (t-a)/(b-a), sqrt(2)/2 (t-a)/(b-a)),(-sqrt(2)/2 (t-a)/(b-a), -sqrt(2)/2(t-a)/(b-a)))$
Avrai quindi che la somma delle due matrici sarà proprio la matrice cercata per l'applicazione lineare.
Ora mi è chiaro! 
Quindi la famiglia di applicazioni lineari $f_t : RR^2 to RR^2$ dovrebbe essere uguale a:
$ f_t(x,y)=(((b-t)/(b-a)-sqrt(2)/2 (t-a)/(b-a))x+sqrt(2)/2 (t-a)/(b-a)y ; -sqrt(2)/2 (t-a)/(b-a)x+((b-t)/(b-a)-sqrt(2)/2 (t-a)/(b-a))y) $ per $t in [a,b]$ ?
Quindi la famiglia di applicazioni lineari $f_t : RR^2 to RR^2$ dovrebbe essere uguale a:$ f_t(x,y)=(((b-t)/(b-a)-sqrt(2)/2 (t-a)/(b-a))x+sqrt(2)/2 (t-a)/(b-a)y ; -sqrt(2)/2 (t-a)/(b-a)x+((b-t)/(b-a)-sqrt(2)/2 (t-a)/(b-a))y) $ per $t in [a,b]$ ?
Esatto! Io le scrivo come matrici, , forse per quello non ci intendevamo!
, forse per quello non ci intendevamo!
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