Famiglia dei chiusi della topologia cofinita
Buonasera a tutti!
Sto cercando di trovare la famiglia dei chiusi dello spazio topologico $(X,theta_C)$, dove con $theta_C$ si denota la topologia cofinita ed $X$ è un insieme infinito. Ho trovato in un testo che tale famiglia è: $C={AsubeX|A text{ è finito}}uu{X}$. Non c'è dubbio sul fatto che in $C$ debba starci $X$ perchè il suo complementare in $X$ è l'insieme vuoto che chiaramente è finito. Il dubbio sorge per $A$: anche se $A$ è finito, che garanzia ho che il suo complementare $X-A$ sia finito (in modo che appartenga alla topologia cofinita)?
E' forse sbagliata la scrittura di $C$? Io avrei azzardato a scrivere $C={AsubeX|X-A text{ è finito}}uu{X}$ ma nel seguito della trattazione trovo scritto:
che è in accordo con la scrittura di $C$ proposta nel testo ma non con la mia in quanto da quanto avrei scritto io, non posso dedurre che un chiuso è finito.
Cosa c'è che non va?
Sto cercando di trovare la famiglia dei chiusi dello spazio topologico $(X,theta_C)$, dove con $theta_C$ si denota la topologia cofinita ed $X$ è un insieme infinito. Ho trovato in un testo che tale famiglia è: $C={AsubeX|A text{ è finito}}uu{X}$. Non c'è dubbio sul fatto che in $C$ debba starci $X$ perchè il suo complementare in $X$ è l'insieme vuoto che chiaramente è finito. Il dubbio sorge per $A$: anche se $A$ è finito, che garanzia ho che il suo complementare $X-A$ sia finito (in modo che appartenga alla topologia cofinita)?
E' forse sbagliata la scrittura di $C$? Io avrei azzardato a scrivere $C={AsubeX|X-A text{ è finito}}uu{X}$ ma nel seguito della trattazione trovo scritto:
Supposto $A$ infinito, tutti i chiusi, tranne $X$ sono finiti
che è in accordo con la scrittura di $C$ proposta nel testo ma non con la mia in quanto da quanto avrei scritto io, non posso dedurre che un chiuso è finito.
Cosa c'è che non va?
Risposte
Ciao,
molto semplicemente: gli aperti sono il vuoto più i sottoinsiemi cofiniti, quindi i chiusi sono X e i sottoinsiemi finiti. Infatti se $R$ è un sottoinsieme cofinito di $X$ allora $X-R$ è finito, e se $S$ è un sottoinsieme finito di $X$ allora $X-S$ è cofinito.
Mi pare di aver capito che tu credi che gli aperti siano i sottoinsiemi finiti, ma non è così.
molto semplicemente: gli aperti sono il vuoto più i sottoinsiemi cofiniti, quindi i chiusi sono X e i sottoinsiemi finiti. Infatti se $R$ è un sottoinsieme cofinito di $X$ allora $X-R$ è finito, e se $S$ è un sottoinsieme finito di $X$ allora $X-S$ è cofinito.
Mi pare di aver capito che tu credi che gli aperti siano i sottoinsiemi finiti, ma non è così.
Ci siamo quasi. Se $S$ è un sottoinsieme finito di $X$ allora $X-S$ è cofinito vale perchè dire che $X-S$ è cofinito significa che $X-(X-S)=S$ è finito ed è così per la nostra supposizione. Ok.
Resta un problema (forse non lo è!). Devo provare che se $X$ è infinito allora $(X,theta_C)$ è separabile e nella dimostrazione si scrive:
Ma è possibile fare una scelta siffatta? Cioè se in $C$ ci stanno tutti i sottoinsiemi finiti, perchè posso prendere un chiuso infinito (e numerabile)?
Resta un problema (forse non lo è!). Devo provare che se $X$ è infinito allora $(X,theta_C)$ è separabile e nella dimostrazione si scrive:
considerato $A$ infinito e numerabile, $barA$ è il più piccolo chiuso che contiene $A$
Ma è possibile fare una scelta siffatta? Cioè se in $C$ ci stanno tutti i sottoinsiemi finiti, perchè posso prendere un chiuso infinito (e numerabile)?
"Andrea90":L'unico chiuso infinito è X. Quindi se A è un sottoinsieme infinito, la sua chiusura deve essere X.
Ma è possibile fare una scelta siffatta? Cioè se in $C$ ci stanno tutti i sottoinsiemi finiti, perchè posso prendere un chiuso infinito (e numerabile)?
Quindi posso dire che l'unica possibilità è che $A=X$? Mi sembra sia l'unica se non ho capito male.
"Andrea90":No, mi hai frainteso. Se $A$ è un sottoinsieme infinito allora la sua chiusura è $X$.
Quindi posso dire che l'unica possibilità è che $A=X$? Mi sembra sia l'unica se non ho capito male.
Per esempio se prendi $X=RR$ con la topologia cofinita, il sottoinsieme $A=ZZ$ dei numeri interi è infinito, quindi la sua chiusura è $RR$.
Ma allora come è possibile prendere da $C$ un insieme infinito se in $C$ abbiamo insiemi finiti (o $X$)? Per la proprietà caratteristica dei chiusi risulta $A=barA=X$, o no?
"Andrea90":Sì, l'ho scritto sopra, $X$ è l'unico chiuso infinito. Ma non vedo il problema.
Ma allora come è possibile prendere da $C$ un insieme infinito se in $C$ abbiamo insiemi finiti (o $X$)? Per la proprietà caratteristica dei chiusi risulta $A=barA=X$, o no?
Quello che dico io è che la chiusura di un sottoinsieme infinito deve essere $X$.
Infatti il problema non è nella tua argomentazione, ma in quella del libro!
Si dice che $A$ è infinito e $barA$ è il più piccolo chiuso che contiene $A$, quindi $A$ dovrebbe essere un chiuso ma i chiusi o sono insiemi finiti o $X$. Quindi come posso scegliere $A$ infinito se non uguale a $X$?
Sono riuscito ad illustrare il mio dubbio?
Si dice che $A$ è infinito e $barA$ è il più piccolo chiuso che contiene $A$, quindi $A$ dovrebbe essere un chiuso ma i chiusi o sono insiemi finiti o $X$. Quindi come posso scegliere $A$ infinito se non uguale a $X$?
Sono riuscito ad illustrare il mio dubbio?
"Andrea90":Fin qui ok.
Si dice che $A$ è infinito e $barA$ è il più piccolo chiuso che contiene $A$
quindi $A$ dovrebbe essere un chiusoE perché? Può benissimo essere $A ne barA$. In altre parole, esistono sottoinsiemi infiniti che non sono chiusi.
$barA$ è il più piccolo chiuso che contiene $A$, quindi se $A$ è infinito $barA=X$. Questo non implica né che $A$ è chiuso né che $A=X$. Ti ho risposto?
Perfetto! Mi hai risposto. Quindi $A$ non è da intendersi appartenente a $C$. Ora chiaramente torna tutto! Era qui il problema...
Grazie.
Grazie.
"Andrea90":Certo che no
Perfetto! Mi hai risposto. Quindi $A$ non è da intendersi appartenente a $C$.
Ciao
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