F manda rette in rette conservando il parallelismo $=>$ f è affine

[Newton_1372]

1). Sia f un applicazione che manda sottospazi di dimensione 1 in sottospazi di dimensione 1. Allora f è lineare.
2). Sia f un applicazione che manda rette affini in rette affini. Allora f è un affinità.

Dove per affinità intendo composizione di una traslazione e un applicazione lineare.

[j18eos]

Due chiose:
[list=1]
[*:233v163s]ragionando con le norme, non arrivi comunque a dimostrare la linearità di \(\displaystyle g\), devi usare meglio la seconda assunzione; se vuoi: provo io più tardi a dettagliarti la cosa;[/*:m:233v163s]
[*:233v163s]le ipotesi non sono rilassabili; proverò a pensare a un esempio, oppure già vict85 ne ha proposto uno.[/*:m:233v163s][/list:o:233v163s]