F manda rette in rette conservando il parallelismo $=>$ f è affine
1). Sia f un applicazione che manda sottospazi di dimensione 1 in sottospazi di dimensione 1. Allora f è lineare.
2). Sia f un applicazione che manda rette affini in rette affini. Allora f è un affinità.
Dove per affinità intendo composizione di una traslazione e un applicazione lineare.
2). Sia f un applicazione che manda rette affini in rette affini. Allora f è un affinità.
Dove per affinità intendo composizione di una traslazione e un applicazione lineare.
Risposte
1) Io ragionerei su una base dello spazio vettoriale dominio...
2) Se vuoi che \(\displaystyle f\) sia biettiva[nota]È richiesto?[/nota] allora \(\displaystyle f\) dev'essere per ipotesi suriettiva!
2) Se vuoi che \(\displaystyle f\) sia biettiva[nota]È richiesto?[/nota] allora \(\displaystyle f\) dev'essere per ipotesi suriettiva!
Direi che sono falsi entrambi.
Vict, qualche controesempio?
Queste cose mi sono uscite perchè il mio prof di relatività mi fa questo ragionamento.
"La trasformazione deve mandare moti rettilinei uniformi in moti rettilinei uniformi. Quindi deve essere lineare" (dove per lineare lui intende affine).
In giro ho trovato l'equivalente
"La trasformazione manda rette dello spazio tempo in rette dello spazio tempo. Quindi la trasformazione deve essere affine".
Presso gli appunti di un professore, trovo inoltre il seguente:
"(2) Se K = R e dimA$\geq$ 2, allora f : A $\mapsto$ A `e una trasformazione affine se e solo se
trasforma rette in rette."
Il problema è che non riporta le dimostrazioni:(
Queste cose mi sono uscite perchè il mio prof di relatività mi fa questo ragionamento.
"La trasformazione deve mandare moti rettilinei uniformi in moti rettilinei uniformi. Quindi deve essere lineare" (dove per lineare lui intende affine).
In giro ho trovato l'equivalente
"La trasformazione manda rette dello spazio tempo in rette dello spazio tempo. Quindi la trasformazione deve essere affine".
Presso gli appunti di un professore, trovo inoltre il seguente:
"(2) Se K = R e dimA$\geq$ 2, allora f : A $\mapsto$ A `e una trasformazione affine se e solo se
trasforma rette in rette."
Il problema è che non riporta le dimostrazioni:(
Per prima cosa dovrebbe richiedere per lo meno che mandi rette in rette in modo lineare. Altrimenti \(\displaystyle f\colon \mathbf{u}\mapsto (e^{\lVert \mathbf{u} \rVert} - 1)\frac{\mathbf{u}}{\lVert\mathbf{u}\rVert} \) sarebbe lineare. Inoltre, sempre come controesempio di 1, \(\displaystyle f(\alpha\mathbf{u}) =\alpha f(\mathbf{u}) \) non è una condizione sufficiente per la linearità.
Ripensandoci però il 2, supponendo che mandi rette in rette in modo lineare, potrebbe essere vero. Devo ragionarci sulla dimostrazione.
Ripensandoci però il 2, supponendo che mandi rette in rette in modo lineare, potrebbe essere vero. Devo ragionarci sulla dimostrazione.
che significa in modo lineare?
Che la restrizione della mappa alla retta è una applicazione lineare (o affine nel caso 2).
Il caso 2 è comunque molto più restrittivo di quanto avessi pensato sul momento. E ragionando sui legami tra spazi proiettivi e spazi affini avrei dovuto pensarci subito. Il punto sta nel fatto che non solo \(\displaystyle OP \) e \(\displaystyle OQ \) sono mandate in rette ma che anche \(\displaystyle PQ \) lo è.
Il caso 2 è comunque molto più restrittivo di quanto avessi pensato sul momento. E ragionando sui legami tra spazi proiettivi e spazi affini avrei dovuto pensarci subito. Il punto sta nel fatto che non solo \(\displaystyle OP \) e \(\displaystyle OQ \) sono mandate in rette ma che anche \(\displaystyle PQ \) lo è.
jpotresti scrivermi la dimostrazione?
Ma sai quanti anni fa ho studiato geometria 1?
Ho solo un vago ricordo del punto (2); a pensarci meglio: \(\displaystyle f\) manda rette in rette, è suriettiva e preserva il rapporto armonico di 3 punti allineati!
Dovrebbe funzionare...
Ho solo un vago ricordo del punto (2); a pensarci meglio: \(\displaystyle f\) manda rette in rette, è suriettiva e preserva il rapporto armonico di 3 punti allineati!
Dovrebbe funzionare...
ma da qui ad arrivare a dire che esiste una matrice M, N vettore, tale che $F(X)=MX+N$ ce ne passa di acqua sotto i ponti (di Konisberg)
Identifico \(V\) con \(\mathbb{R}^n\) e per comodità non uso il grassetto e neanche il maiuscolo: sto usando il tablet.
In sostanza \(f\) è affine se \(\displaystyle f(ax+by)-f(0)=a(f(x)-f(0))+b(f(y)-f(0)) \). L'ipotesi su \(f\) è che \(f(tx+(1-t)y) = tf(x)+(1-t)f(y)\). Penso sia solo questione di calcolo.
[Edit] Basta notare che \(\displaystyle ax+by=(a+b)\Biggl(\frac{a}{a+b}x + \frac{b}{a+b}y \Biggr)+(1-a-b)0 \) e usare le ipotesi
In sostanza \(f\) è affine se \(\displaystyle f(ax+by)-f(0)=a(f(x)-f(0))+b(f(y)-f(0)) \). L'ipotesi su \(f\) è che \(f(tx+(1-t)y) = tf(x)+(1-t)f(y)\). Penso sia solo questione di calcolo.
[Edit] Basta notare che \(\displaystyle ax+by=(a+b)\Biggl(\frac{a}{a+b}x + \frac{b}{a+b}y \Biggr)+(1-a-b)0 \) e usare le ipotesi
Ipotesi: sia \(\displaystyle f:\mathbb{A}^n(\mathbb{K})\equiv\mathbb{A}^n\to\mathbb{A}^n\) una funzione suriettiva, che trasforma rette in rette e che preserva il rapporto armonico di tre punti allineati.
Inizia col dimostrare che \(\displaystyle f\) induce un'affinità tra una retta e la sua immagine; poi passa a dimostrare che la traccia \(\displaystyle \varphi\)[nota]Per la definizione di traccia di un'affinità, utilizzo le stesse notazioni di wikipedia, quindi dovrebbe essere evidente... Se no, domandate pure!
[/nota] è un automorfismo lineare[nota]Questo dovrebbe discendere dal punto (1), con le modifiche suggerite da Vittorio.[/nota] dello spazio direttore \(\displaystyle\mathbb{V}_n(\mathbb{K})\equiv\mathbb{V}_n\) di \(\displaystyle\mathbb{A}^n\), e concludi.
Inizia col dimostrare che \(\displaystyle f\) induce un'affinità tra una retta e la sua immagine; poi passa a dimostrare che la traccia \(\displaystyle \varphi\)[nota]Per la definizione di traccia di un'affinità, utilizzo le stesse notazioni di wikipedia, quindi dovrebbe essere evidente... Se no, domandate pure!
[/nota] è un automorfismo lineare[nota]Questo dovrebbe discendere dal punto (1), con le modifiche suggerite da Vittorio.[/nota] dello spazio direttore \(\displaystyle\mathbb{V}_n(\mathbb{K})\equiv\mathbb{V}_n\) di \(\displaystyle\mathbb{A}^n\), e concludi.
Ho verificato sulle dispense di Geometria 1 & 2[nota]...che con mia sorpresa non sono in cantina.[/nota]:[list=a]
[*:7lja57la] Un'applicazione suriettiva \(\displaystyle f:\mathbb{A}^n\to\mathbb{A}^n\)che trasforma rette in rette, è un'affinità se e solo se essa subordina per ogni retta di \(\displaystyle\mathbb{A}^n\) un'affinità tra essa e la sua immagine.[/*:m:7lja57la]
[*:7lja57la] Un'applicazione suriettiva \(\displaystyle f:\mathbb{A}^n\to\mathbb{A}^n\) è un'affinità se e solo se trasforma rette in rette e preserva il rapporto armonico di tre punti allineati.[/*:m:7lja57la][/list:o:7lja57la]
La dimostrazione non è breve, ma è un esercizio!
[*:7lja57la] Un'applicazione suriettiva \(\displaystyle f:\mathbb{A}^n\to\mathbb{A}^n\)che trasforma rette in rette, è un'affinità se e solo se essa subordina per ogni retta di \(\displaystyle\mathbb{A}^n\) un'affinità tra essa e la sua immagine.[/*:m:7lja57la]
[*:7lja57la] Un'applicazione suriettiva \(\displaystyle f:\mathbb{A}^n\to\mathbb{A}^n\) è un'affinità se e solo se trasforma rette in rette e preserva il rapporto armonico di tre punti allineati.[/*:m:7lja57la][/list:o:7lja57la]
La dimostrazione non è breve, ma è un esercizio!
È forse utile osservare che la mia condizione, seppur io l'abbia spacciata per trasforma rette in rette con una affinità, potrebbe essere detta più propriamente come preserva le combinazione baricentriche tra coppie di elementi. Sulle dispense di Manetti di geometria algebrica ( http://www1.mat.uniroma1.it/people/mane ... pense.html ) si può trovare un'ampia caratterizzazione degli spazi affini attraverso combinazioni baricentriche.
Qui si parla del caso proiettivo. In tal caso è vero che una biiezione dallo spazio proiettivo reale (di dimensione almeno 2) in sé che conserva la collinearità è una proiettività: è un teorema di Von Staudt.
L'ho ricostruita così
ASSUNZIONE 1. f conserva rette in rette
ASSUNZIONE 2. f conserva i rapporti fra segmenti
ASSUNZIONE 3. f conserva il parallelismo
PROP. Parallelogrammi vengono mandati da f in parallelogrammi.
PROP. g=f-f(0) è additiva
Dimostr. Siano u,v e u+v con u,v, vettori qualsiasi (vincolati nell'origine). u viene mandato in g(u), v in g(v), u+v in g(u+v), O viene mandato in g(O)= 0. Notiamo ora che g manda parallelogrammi in parallelogrammi, perché lo fa f, e inoltre g differisce da f solo per una traslazione. Per la proposizione precedente, il quadrilatero 0-g(u)-g(u+v)-g(v) è un parallelogramma, e pertanto g(u+v)=g(u)+g(v).
PROP. g=f-f(0) è omogenea di grado 1, ovvero $g(\alpha v) =\alpha g(v)$.
Dimostr. u viene mandato in g(u), $\alpha v$ in $g(\alpha v)$. Per prima cosa $0-g(u)$ e $0-g(\alpha u)$ devono essere allineati, perché lo sono 0-u e $0-\alpha u$. g conserva il rapporto fra segmenti perché lo fa f e perché differisce da f solo per una traslazione. Inoltre g(0)=0. Si ha allora
$\frac{g(\alpha u)}{g(u)} = \frac{\alpha u}{u} = \alpha$.
Da cui $g(\alpha u) = \alpha g(u)$.
(Nel caso a più dimensioni si passa alle norme, e si usa la definizione di vettore proporzionale a un altro con fattore $\alpha$).
COROLL. f =g+f(0), con g lineare, ovvero f è affine.
NOTA. Per quel che mi serve (dimostrare che le trasf. tra sistemi di riferimento devono essere affini) l'assunzione più inelegante (che vorrei tanto rimuovere) è l'assunzione 2.
ASSUNZIONE 1. f conserva rette in rette
ASSUNZIONE 2. f conserva i rapporti fra segmenti
ASSUNZIONE 3. f conserva il parallelismo
PROP. Parallelogrammi vengono mandati da f in parallelogrammi.
PROP. g=f-f(0) è additiva
Dimostr. Siano u,v e u+v con u,v, vettori qualsiasi (vincolati nell'origine). u viene mandato in g(u), v in g(v), u+v in g(u+v), O viene mandato in g(O)= 0. Notiamo ora che g manda parallelogrammi in parallelogrammi, perché lo fa f, e inoltre g differisce da f solo per una traslazione. Per la proposizione precedente, il quadrilatero 0-g(u)-g(u+v)-g(v) è un parallelogramma, e pertanto g(u+v)=g(u)+g(v).
PROP. g=f-f(0) è omogenea di grado 1, ovvero $g(\alpha v) =\alpha g(v)$.
Dimostr. u viene mandato in g(u), $\alpha v$ in $g(\alpha v)$. Per prima cosa $0-g(u)$ e $0-g(\alpha u)$ devono essere allineati, perché lo sono 0-u e $0-\alpha u$. g conserva il rapporto fra segmenti perché lo fa f e perché differisce da f solo per una traslazione. Inoltre g(0)=0. Si ha allora
$\frac{g(\alpha u)}{g(u)} = \frac{\alpha u}{u} = \alpha$.
Da cui $g(\alpha u) = \alpha g(u)$.
(Nel caso a più dimensioni si passa alle norme, e si usa la definizione di vettore proporzionale a un altro con fattore $\alpha$).
COROLL. f =g+f(0), con g lineare, ovvero f è affine.
NOTA. Per quel che mi serve (dimostrare che le trasf. tra sistemi di riferimento devono essere affini) l'assunzione più inelegante (che vorrei tanto rimuovere) è l'assunzione 2.
up
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"newton_1372":Non puoi scrivere una cosa del genere in spazio vettoriale con almeno \(\displaystyle2\) dimensioni!
...Si ha allora
$\frac{g(\alpha u)}{g(u)} = \frac{\alpha u}{u} = \alpha$...
Ci riferiamo alle norme...a parte questo...si può togliere quell'ipotesi?
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