F lineare e polinomio caratteristico.
Salve ragazzi ho il seguente quesito :
Sia $f \in End(RR^4)$ avente polinomio caratteristico $P_f(t)=t^4+(2k-1)t^3-4kt^2+2kt$. $k \in RR$.
a) $f$ è ingettiva?
b) Supponendo f diagonalizzabile determinare il rango di $f - 2id_{RR^4}$ al variare di $k \in RR$.
Svolgimento :
a) Semplice. Si evince che $\lambda_0=0$ è autovalore per $f$ . Dunque $EE v \in RR^4 , v!=0 t.c f(v)=0_{RR^4) =>$ f non è ingettiva.
b) Sappiamo $V_2=Ker(f-2Id_{RR^2})$ ($V_2$ autospazio di autovalore 2)
Distinguiamo due casi.
Se $2$ non è autovalore per $f$, si ha che $V_2={0_V}=Ker(f-2id)$ il che implica $dimImf=rg(f-2id)=4$
Stabilisco per quali $k$ , $2$ è autovalore per $f$.
Imponendo $P_{f}(2)=0$ trovo che $2 $ è autovalore $<=> k=-2$.
Per $k=-2$ ho che $P_{f}(t)=t(t-1)(t-2)^2$. Ho che la molteplicità algebrica di $2$ è $2$. Per ipotesi $f$ è diagonalizzabile, dunque $dimV_2=dimKer(f-2id)=2 $. Per il teorema del rango ho che $dimKer(f-2id)+rg(f-2id)=dimRR^4=4 => rg(f-2id)=2$
Ricapitolando
Se $k!=-2$ $dimImf=rg(f-2id)=4$. (abbiamo un isomorfismo).
Se $k=-2$ $dimImf=rg(f-2id)=2$.
Vi convince? grazie mille
Sia $f \in End(RR^4)$ avente polinomio caratteristico $P_f(t)=t^4+(2k-1)t^3-4kt^2+2kt$. $k \in RR$.
a) $f$ è ingettiva?
b) Supponendo f diagonalizzabile determinare il rango di $f - 2id_{RR^4}$ al variare di $k \in RR$.
Svolgimento :
a) Semplice. Si evince che $\lambda_0=0$ è autovalore per $f$ . Dunque $EE v \in RR^4 , v!=0 t.c f(v)=0_{RR^4) =>$ f non è ingettiva.
b) Sappiamo $V_2=Ker(f-2Id_{RR^2})$ ($V_2$ autospazio di autovalore 2)
Distinguiamo due casi.
Se $2$ non è autovalore per $f$, si ha che $V_2={0_V}=Ker(f-2id)$ il che implica $dimImf=rg(f-2id)=4$
Stabilisco per quali $k$ , $2$ è autovalore per $f$.
Imponendo $P_{f}(2)=0$ trovo che $2 $ è autovalore $<=> k=-2$.
Per $k=-2$ ho che $P_{f}(t)=t(t-1)(t-2)^2$. Ho che la molteplicità algebrica di $2$ è $2$. Per ipotesi $f$ è diagonalizzabile, dunque $dimV_2=dimKer(f-2id)=2 $. Per il teorema del rango ho che $dimKer(f-2id)+rg(f-2id)=dimRR^4=4 => rg(f-2id)=2$
Ricapitolando
Se $k!=-2$ $dimImf=rg(f-2id)=4$. (abbiamo un isomorfismo).
Se $k=-2$ $dimImf=rg(f-2id)=2$.
Vi convince? grazie mille
Risposte
a) Ok
b) Non capisco una cosa: tu hai che $V_2=Ker(f-2I)$ e non $V_2=Ker(f-I)$. Svista o errore? Chiedo perché è una cosa che hai scritto due volte, inclusa la consegna.
Comunque, va bene vedere per quali $k$ il polinomio si annulla. Però poi l'uguaglianza da utilizzare è il teorema del rango, in questo caso: $4=dim(Im(f-2I)) + dim(Ker(f-2I))=rank(f-2I) + dim V_2$.
Paola
b) Non capisco una cosa: tu hai che $V_2=Ker(f-2I)$ e non $V_2=Ker(f-I)$. Svista o errore? Chiedo perché è una cosa che hai scritto due volte, inclusa la consegna.
Comunque, va bene vedere per quali $k$ il polinomio si annulla. Però poi l'uguaglianza da utilizzare è il teorema del rango, in questo caso: $4=dim(Im(f-2I)) + dim(Ker(f-2I))=rank(f-2I) + dim V_2$.
Paola
"prime_number":
a) Ok
b) Non capisco una cosa: tu hai che $V_2=Ker(f-2I)$ e non $V_2=Ker(f-I)$. Svista o errore? Chiedo perché è una cosa che hai scritto due volte, inclusa la consegna.
Ciao Paola e ti ringrazio per il commento. Hai ragione, svista colossale, l'applicazione che devo considerare è $f-2id_{RR^4}$. Ho trascritto male l'esercizio. Adesso ho corretto!
Comunque, va bene vedere per quali $k$ il polinomio si annulla. Però poi l'uguaglianza da utilizzare è il teorema del rango, in questo caso: $4=dim(Im(f-2I)) + dim(Ker(f-2I))=rank(f-2I) + dim V_2$.
Paola
Cosa che ho fatto, ma che non ho specificato , scusa. Ho provveduto a perfezionare il tutto. Penso che ora dovrebbe andare.
Grazie mille.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo