[EX] The "Best" Hausdorff Quotient

[perplesso1]

Sia $X$ uno spazio topologico e sia $\Delta = {(x,x) | x \in X}$ la diagonale considerata come sottopazio del prodotto $X \times X$. Mostrare che:

a) la chiusura $\bar{ \Delta }$ è una relazione di equivalenza in $X$
b) lo spazio quoziente $X$/$\bar{ \Delta }$ è Hausdorff

Il punto a) è facile, ma sul secondo punto non riesco a concludere. Se $ [x] \ne [ y ] $ sono due elementi distinti del quoziente allora $(x,y) \notin \bar{ \Delta }$ cioè esistono due aperti disgiunti di $X$ che separano $x$ da $y$. Questo però non mi basta per dire che posso separare le classi di equivalenza nel quoziente

Consigli (ma anche soluzioni ) sono graditi. Grazie.

[j18eos]

Bell'esercizio!

Suggerimento (criptico, ovviamente): cosa c'entra \(\Delta\) cogli spazi di Hausdorff?

[perplesso1]

"j18eos":Bell'esercizio!

Questo fatterello l'ho trovato nel Borceux "Categorical Algebra" (che non lo dimostra perchè evidentemente lo considera troppo elementare... ). In particolare l'osservazione che ogni spazio ammette un "miglior" quoziente hausdorff permette di definire un funtore $Top -> Haus $ che è un aggiunto sinistro del funtore di inclusione $Haus -> Top$

"j18eos":cosa c'entra Δ cogli spazi di Hausdorff?

C'entra che uno spazio è hausdorff se e solo se la diagonale è chiusa. La diagonale di $X$/$\bar{\Delta}$ è chiusa ? Intuitivamente rispondo "certo! perchè abbiamo identificato fra loro tutti i punti che ci davano fastidio... ", ma formalmente non so come scrivere.

[j18eos]

Io ti ho dato un suggerimento, non è che ti ho fatto una domanda; esplicitamente dovresti utilizzarlo... altrimenti posterò io un abbozzo della soluzione!

[perplesso1]

"j18eos":dovresti utilizzarlo

E ci sto provando... ma non ci riesco

Per comodità di scrittura pongo $Y=X$ / $\bar{\Delta}$. Sia $D = { ( [x]$ $, [x] ) | [x] \in Y}$ la diagonale di $Y$. Per mostrare che $D$ è chiusa devo mostrare che preso un punto $([x],$ $[y])$ con $[x] \ne [y]$ esiste un intorno che lo contiene e che è disgiunto da $D$. Quindi... $[x] \ne [y]$ significa $(x,y) \notin \bar{\Delta}$ ovvero esistono due aperti $A$ e $B$ di $X$ tali che $(x,y) \in A xx B$ ed inoltre $(A xx B) \cap \bar{\Delta} = \emptyset$. Pertanto detta $q: X -> Y$ la proiezione canonica di $X$ sul suo quoziente $Y$ risulta $[x] \in q(A)$ ed $[y] \in q(B)$ ed anche $q(A) \cap q(B) = \emptyset$. Se sapessi che $q(A)$ e $q(B)$ sono aperti avrei finito, ma dubito che sia vero... e quindi niente, sono punto e daccapo.

Allora ho provato in un altro modo: supponendo che ogni intorno di $([x],$ $[y])$ ha intersezione non vuota con la diagonale $D$ voglio mostrare che $[x] = [y]$. Con un ragionamente più o meno simile a quello di prima arrivo a mostrare che $x$ e $y$ non possono essere separati da due aperti saturi. ma questo non mi basta ad affermare che $(x,y) \in \bar{\Delta}$

Insomma mi sto scervellando ma non ci arrivo, che ci posso fare ? xD

"j18eos":altrimenti posterò io un abbozzo della soluzione!

Non mi dispiacerebbe, anzi sono curioso!

[j18eos]

Sicuro che per \(q(A)\) e \(q(B)\) non si possa affermare che essi siano aperti?

[perplesso1]

Non sono sicuro, da quel che mi ricordo la proiezione sul quoziente non è una mappa aperta in generale, anche se potrebbe esserlo in questo caso particolare. Dovrei dimostrare che $q^{-1}(q(A)) = \bigcup_{x \in A} [x]$ è un aperto di $X$, ma ancora non ci sono riuscito... xD

[j18eos]

"perplesso":...da quel che mi ricordo la proiezione sul quoziente non è una mappa aperta in generale...

Ricordi bene!

Se guardi bene, nel primo post, nella definizione della relazione \(\overline{\Delta}\) ci manca qualcosa; per come l'hai (de)scritta, ad esempio, non è riflessiva!

Insomma t'ho scritto tutto.