[EX] Spazi metrici connessi.

[otta96]

$(a)$ Dimostrare che in uno spazio metrico $(X,d)$ connesso, dati due qualsiasi punti $x,y$ in $X$ e fissato un $\epsilon>0$ esiste una sequenza finita di punti $x_i\inX$ con $0\leq i\leq n$ tali che $x_0=x$, $x_n=y$ e $AA1\leq i\leq n\ d(x_i,x_(i-1))<\epsilon $.
$(b)$ Mostrare che se uno spazio metrico compatto $(X,d)$ soddisfa la proprietà descritta nel punto $(a)$ allora è connesso; cosa che non vale in assenza dell'ipotesi di compattezza.

[otta96]

Grande Bremen

"Bremen000":Un modo equivalente a quello dissonance per dimostrarlo è considerare che avere un insieme finito di punti che \( \epsilon \)-connette (ci siamo capiti, spero) $x$ e $y$ è una relazione di equivalenza. Allora $X$ e composto da classi di euivalenza disgiunte. Basta ora far vedere che ognuna di esse è aperta, come ha fatto dissonance.

Per il secondo punto, supponiamo per assurdo che $X$ non sia connesso e prendiamo due chiusi disgiunti $A$ e $B$ la cui unione è $X$. Siccome sono pure compatti la loro distanza è positiva e allora basta prendere $\epsilon$ più piccolo della loro distanza (o metà di essa, ora non ho tempo per fare i conti) e viene che due punti di $A$ e $B$ non possono essere \( \epsilon \) connessi (ci capiamo di nuovo).

Per esempio però lo spazio \( [0,1) \cup (1 , 2] \) soddisfa la proprietà del punto $(a)$ però non è connesso. E infatti non è compatto.

Tutto vero.

P.S. : mi scuso per la poca cura con cui è stato scritto questo post, ma ora non ho tempo per scrivere bene le cose ma l'esercizio mi pareva molto carino.

Non preoccuparti si capiva.

P.P.S. : @otta non hai mai più guardato l'esercizio sul teorema delle contrazioni che hai messo in "Pensare un po' di più"

Hai ragione, prometto che ti rispondo [size=50]prima o poi [/size]

P.P.P.S. : @otta è la locale connessione per archi quello di cui parli?

No, di un'altra che a questo punto posso dire: uno spazio è connesso se e solo se per ogni ricoprimento aperto, per ogni coppia di punti $x,y$ nello spazio esiste una sequenza finita $U_i$ con $0\leq i\leq k$ del ricoprimento tali che $x\inU_0$, $y\inU_k$ e $U_i\cup U_(i-1)!=\emptyset$ per $1\leq i\leq k$.
Potete trovare questa cosa qui.

Per tutti quelli che hanno detto che l'esercizio era carino, ultimamente ho pensato di postare ogni tanto qualche esercizio di topologia non banale visto che questo forum è un mortorio da questo punto di vista e ho cominciato con questo, in seguito ne posterò sicuramente altri dello stesso tenore.

[Shocker1]

[ot]Bello![/ot]

[Bremen000]

"otta96":
[...]
No, di un'altra che a questo punto posso dire: uno spazio è connesso se e solo se per ogni ricoprimento aperto, per ogni coppia di punti $x,y$ nello spazio esiste una sequenza finita $U_i$ con $0\leq i\leq k$ del ricoprimento tali che $x\inU_0$, $y\inU_k$ e $U_i\cup U_(i-1)!=\emptyset$ per $1\leq i\leq k$.
Potete trovare questa cosa qui.

Be' ma è bellissimo. Questa è esattamente la definizione di connessione più intuitiva che ci sia! Non l'avevo mai vista! Certo è meno maneggevole della definizione classica però fa davvero capire cosa si intende!

"otta96":
Per tutti quelli che hanno detto che l'esercizio era carino, ultimamente ho pensato di postare ogni tanto qualche esercizio di topologia non banale visto che questo forum è un mortorio da questo punto di vista e ho cominciato con questo, in seguito ne posterò sicuramente altri dello stesso tenore.

Be' è sicuramente un'ottima idea! Come vedi poi post interessanti come questo hanno un bel seguito (in termini di risposte e di visite). Io ho provato recentemente a mettere qualcosina in analisi superiore ma pare che debba trovare ancora il tipo adeguato di esercizi