[EX] - Applicazioni lineari
Non sono sicuro dello svolgimento di questo esercizio, quindi spero che qualche anima pia abbia la pazienza di seguire i miei delirii.
Siano date le basi \(\displaystyle \mathcal{V}=\{v_{1},\dots,v_{4} \} \) e \(\displaystyle \mathcal{W}=\{w_{1},\dots,w_{3}\} \) degli spazi vettoriali reali \(\displaystyle V \) e \(\displaystyle W \), rispettivamente.
(i) Si determinino tutte le applicazioni lineari \(\displaystyle \phi:V \to W \) tali che \[\displaystyle \phi(v_{2}+v_{3})=w_{1}+2w_{2}+w_{3} \] \[\displaystyle \phi(v_{1}+v_{4})=2w_{1} \] \[\displaystyle \phi(v_{3})=w_{2}+w_{3} \] \[\displaystyle \phi(v_{1} + v_{2} + v_{4})=3w_{1}+w_{2} \]
e si scriva la matrice \(\displaystyle \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{W}}(\phi) \) per ciascuna di queste.
Svolgimento:
Senza farne tante: esistono infinite applicazioni di questo tipo perché i vettori contro cui si calcola l'applicazione sono linearmente dipendenti, e le immagini soddisfano alla stessa relazione. Pertanto mando \(\displaystyle v_{1} \) in un generico vettore del codominio e ottengo le matrici \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{W}}(\phi)=\begin{pmatrix} a & 1 & 0 & 2-a \\ b & 1 & 1 & -b \\ c & 0 & 1 & -c \end{pmatrix} \] al variare di \(\displaystyle a, \; b, \; c \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \).
(ii) Si determinino nucleo ed immagine per \(\displaystyle \phi \) e si determini, se esiste, un sottospazio \(\displaystyle U \subseteq V \) tale che \(\displaystyle \phi_{U} \) (\(\displaystyle \phi \) ristretto a \(\displaystyle U \)) sia una biiezione su \(\displaystyle W \) per tutte le applicazioni \(\displaystyle \phi \) soddisfacenti al punto (i).
Svolgimento:
Calcolando il primo minore (prime tre colonne), concludo che esso è \(\displaystyle \ne 0 \) sse \(\displaystyle a \ne b-c \) (prime tre colonne indipendenti); qualora si avesse \(\displaystyle a=b-c \), sono indipendenti le ultime tre colonne, quindi l'applicazione ha in ogni caso rango \(\displaystyle 3 \). Per trovare una base del nucleo ho risolto un sistema lineare ed ottenuto che, modulo conti, \[\displaystyle \text{ker} \; \phi = \left \langle \begin{pmatrix} 1 - \frac{2}{a-b+c} \\ \frac{2b-2c}{a-b+c} \\ \frac{2c}{a-b+c} \\ 1 \end{pmatrix} \right \rangle \]
Per quanto riguarda \(\displaystyle U \), dovrebbe aversi \[\displaystyle U=\left \langle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \rangle \] perché le relative immagini generano tutto il codominio per ogni \(\displaystyle \phi \).
Che ne dite? Fin qui può andare?
Siano date le basi \(\displaystyle \mathcal{V}=\{v_{1},\dots,v_{4} \} \) e \(\displaystyle \mathcal{W}=\{w_{1},\dots,w_{3}\} \) degli spazi vettoriali reali \(\displaystyle V \) e \(\displaystyle W \), rispettivamente.
(i) Si determinino tutte le applicazioni lineari \(\displaystyle \phi:V \to W \) tali che \[\displaystyle \phi(v_{2}+v_{3})=w_{1}+2w_{2}+w_{3} \] \[\displaystyle \phi(v_{1}+v_{4})=2w_{1} \] \[\displaystyle \phi(v_{3})=w_{2}+w_{3} \] \[\displaystyle \phi(v_{1} + v_{2} + v_{4})=3w_{1}+w_{2} \]
e si scriva la matrice \(\displaystyle \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{W}}(\phi) \) per ciascuna di queste.
Svolgimento:
Senza farne tante: esistono infinite applicazioni di questo tipo perché i vettori contro cui si calcola l'applicazione sono linearmente dipendenti, e le immagini soddisfano alla stessa relazione. Pertanto mando \(\displaystyle v_{1} \) in un generico vettore del codominio e ottengo le matrici \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{W}}(\phi)=\begin{pmatrix} a & 1 & 0 & 2-a \\ b & 1 & 1 & -b \\ c & 0 & 1 & -c \end{pmatrix} \] al variare di \(\displaystyle a, \; b, \; c \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \).
(ii) Si determinino nucleo ed immagine per \(\displaystyle \phi \) e si determini, se esiste, un sottospazio \(\displaystyle U \subseteq V \) tale che \(\displaystyle \phi_{U} \) (\(\displaystyle \phi \) ristretto a \(\displaystyle U \)) sia una biiezione su \(\displaystyle W \) per tutte le applicazioni \(\displaystyle \phi \) soddisfacenti al punto (i).
Svolgimento:
Calcolando il primo minore (prime tre colonne), concludo che esso è \(\displaystyle \ne 0 \) sse \(\displaystyle a \ne b-c \) (prime tre colonne indipendenti); qualora si avesse \(\displaystyle a=b-c \), sono indipendenti le ultime tre colonne, quindi l'applicazione ha in ogni caso rango \(\displaystyle 3 \). Per trovare una base del nucleo ho risolto un sistema lineare ed ottenuto che, modulo conti, \[\displaystyle \text{ker} \; \phi = \left \langle \begin{pmatrix} 1 - \frac{2}{a-b+c} \\ \frac{2b-2c}{a-b+c} \\ \frac{2c}{a-b+c} \\ 1 \end{pmatrix} \right \rangle \]
Per quanto riguarda \(\displaystyle U \), dovrebbe aversi \[\displaystyle U=\left \langle \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right \rangle \] perché le relative immagini generano tutto il codominio per ogni \(\displaystyle \phi \).
Che ne dite? Fin qui può andare?
Risposte
Modulo conti è giusto.
Grazie, buon dissonance.
Vado avanti:
(iii) Al variare di \(\displaystyle \phi \) si determini l'insieme \(\displaystyle C_{\phi} \) delle applicazioni lineari \(\displaystyle \psi:V \to V \) tali che \(\displaystyle \text{im}(\phi \circ \psi) \subseteq \langle w_{1} \rangle \). Si dica se si tratta di un sottospazio e se ne determini la dimensione. Si descrivano le matrici \(\displaystyle \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{V}}(\psi) \) delle applicazioni \(\displaystyle \psi \in C_{\phi} \).
Svolgimento:
Credo di riuscire a visualizzarlo bene in termini di matrici: \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{V}, \mathcal{V}}(\phi \circ \psi)=\begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma & \delta \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] al variare di \(\displaystyle \alpha, \; \beta, \; \gamma, \; \delta \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \). Ma come ottenerle? Siccome le applicazioni che sto studiando hanno sempre rango \(\displaystyle 3 \), le loro tre righe sono linearmente indipendenti; in particolar modo le "colonne della matrice di \(\displaystyle \phi \) dovranno appartenere" al seguente sottospazio di dimensione \(\displaystyle 2 \) \[\displaystyle \left \langle \begin{pmatrix} b \\ 1 \\ 1 \\ -b \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 1 \\ -c \end{pmatrix} \right \rangle^{\bot} \] Quindi in definitiva le matrici saranno del tipo \[\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ c-b & 0 & 0 & 0 \\ -c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ b-c & 0 & 0 & 0 \\ c & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ...\] e via dicendo. Mi pare che questo sia un sottospazio, e che abbia dimensione \(\displaystyle 8 \).
Che ne dite?
Vado avanti:
(iii) Al variare di \(\displaystyle \phi \) si determini l'insieme \(\displaystyle C_{\phi} \) delle applicazioni lineari \(\displaystyle \psi:V \to V \) tali che \(\displaystyle \text{im}(\phi \circ \psi) \subseteq \langle w_{1} \rangle \). Si dica se si tratta di un sottospazio e se ne determini la dimensione. Si descrivano le matrici \(\displaystyle \alpha_{\mathcal{V},\mathcal{V}}(\psi) \) delle applicazioni \(\displaystyle \psi \in C_{\phi} \).
Svolgimento:
Credo di riuscire a visualizzarlo bene in termini di matrici: \[\displaystyle \alpha_{\mathcal{V}, \mathcal{V}}(\phi \circ \psi)=\begin{pmatrix} \alpha & \beta & \gamma & \delta \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \] al variare di \(\displaystyle \alpha, \; \beta, \; \gamma, \; \delta \) in \(\displaystyle \mathbb{R} \). Ma come ottenerle? Siccome le applicazioni che sto studiando hanno sempre rango \(\displaystyle 3 \), le loro tre righe sono linearmente indipendenti; in particolar modo le "colonne della matrice di \(\displaystyle \phi \) dovranno appartenere" al seguente sottospazio di dimensione \(\displaystyle 2 \) \[\displaystyle \left \langle \begin{pmatrix} b \\ 1 \\ 1 \\ -b \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} c \\ 0 \\ 1 \\ -c \end{pmatrix} \right \rangle^{\bot} \] Quindi in definitiva le matrici saranno del tipo \[\displaystyle \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0 \\ c-b & 0 & 0 & 0 \\ -c & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ b-c & 0 & 0 & 0 \\ c & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} ...\] e via dicendo. Mi pare che questo sia un sottospazio, e che abbia dimensione \(\displaystyle 8 \).
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