Estremi vincolati
Ciao a tutti sono un nuovo iscritto al forum.
Ho due esercizi relativi agli estremi vincolati che non riesco a risolvere. Mi potete dare qualche consiglio ?
Matt
Esercizio I
In un cono circolare retto di raggio R ed altezza H inscrivere un cilindro di raggio X ed altezza Y di volume massimo
Esercizio II
Siano A(x1,y1), B(x2,y2), e C(x,y) tre punti dell'ellisse b^2*x^2+a^2*y^2=a^2*b^2, determinare le coordinate del puno C in modo che la superficie del triangolo ABC sia massima. (cosa si osserva?)
Ho due esercizi relativi agli estremi vincolati che non riesco a risolvere. Mi potete dare qualche consiglio ?
Matt
Esercizio I
In un cono circolare retto di raggio R ed altezza H inscrivere un cilindro di raggio X ed altezza Y di volume massimo
Esercizio II
Siano A(x1,y1), B(x2,y2), e C(x,y) tre punti dell'ellisse b^2*x^2+a^2*y^2=a^2*b^2, determinare le coordinate del puno C in modo che la superficie del triangolo ABC sia massima. (cosa si osserva?)
Risposte
Il volume del cilindro inscritto sarà : $ pi*X^2*Y $ .
Adesso bisogna ricondursi a una formula che dia il volume, ma in funzione di una sola incognita ad es. $x $ , tenedno conto dei vincoli del problema.
Se la'ltezza del cilindro è $Y$ , allora l'altezza del cono che sta sopra al cilindro è $H-Y $ ; a questo punto per la similitudine di due triangoli si scrive la proporzione : $ X: R = (H-Y) : H $ da cui ricavi $Y $ in funzione di $X$ .
Poi sostituisci questa espressione in quella del volume ; a questo punto è un problema di max in una sola variabile...
Adesso bisogna ricondursi a una formula che dia il volume, ma in funzione di una sola incognita ad es. $x $ , tenedno conto dei vincoli del problema.
Se la'ltezza del cilindro è $Y$ , allora l'altezza del cono che sta sopra al cilindro è $H-Y $ ; a questo punto per la similitudine di due triangoli si scrive la proporzione : $ X: R = (H-Y) : H $ da cui ricavi $Y $ in funzione di $X$ .
Poi sostituisci questa espressione in quella del volume ; a questo punto è un problema di max in una sola variabile...
1°) Dalla similitudine di 2 certi triangoli si deduce che:
$R/x=H/(H-y)$ da cui la relazione
(1) $Hx+Ry-RH=0, 0
$F(x,y)=pix^2y-lambda(Hx+Ry-RH) $ con le condizioni (1)
Annullando il gradiente di F si ha il sistema:
${(2pixy-lambda H=0),(pi x^2-lambda R=0),(Hx+Ry-RH=0):}$
che porta alle soluzioni accettabili
$x=2/3R,y=1/3H$
Soluzioni che corrispondono ad un massimo dato che il cilindro
minimo e' chiaramente quello schiacciato sulla base del cono.
Un modo elementare di risolvere il problema ,senza cioe' ricorrere
alle derivate ,si puo' ottenere osservando che il volume del cilindro
si puo' scrivere anche così:
$V=(pi)/(H^2R)(Hx)^2*(Ry)$
E poiche' dalla (1) si trae che e' $Hx+Ry=RH=$costante,il
massimo (come e' noto) si ha quando risulta:
$(Hx)/2=(Ry)/1$ e questa insieme con la (1) porta alle soluzioni
gia' trovate.
2°) Poiche' la base AB del triangolo ABC e' fissa ,il massimo
richiesto si ha quando il terzo vertice C(x,y) e' alla massima distanza
dalla retta di AB.Ora l'equazione di tale retta e':
(2)$(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=0$ e quindi tale distanza e':
$d=(|(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)|)/(sqrt((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2))$
Pertanto,scegliendo uno dei possibili segni del valore assoluto,
si ha la seguente funzione di Lagrange:
$F(x,y)=1/2[(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)]-lambda(b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2)$
con la condizione (2) e le altre seguenti:
(3) $-a<=x<=+a,-b<=y<=+b,b^2x_1^2+a^2y_1^2=a^2b^2,b^2x_2^2+a^2y_2^2=a^2b^2$
Annullando il gradiente di F si hanno le condizioni:
(4)${(1/2(y_1-y_2)-2lambda b^2x=0),(1/2(x_2-x_1)-2lambda a^2y=0):}$
che insiene alle (2) e (3) danno un sistema dal quale e' possibile
ricavare C(x,y).Tuttavia ,data la genericita' del problema ,forse non si
richiede di risolvere materialmente il sistema (cosa pure possibile)
ma di intepretarne il contenuto geometrico.A tal proposito dividiamo
membro a membro le (4):
$(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=-(b^2)/(a^2)*(x/y)$ ed osserviamo che il primo membro
di questa nuova eguaglianza rappresenta il coefficiente angolare della retta
AB mentre il secondo membro e' il coefficiente angolare della retta tangente
all'ellisse nel punto C.Ne segue che il punto C richiesto e' uno dei due
punti di contatto dell'ellisse medesima con le tangenti ad essa, parallele
ad AB.Naturalmente uno dei due punti corrisponde al massimo richiesto e
l'altro ad un minimo,a meno che AB non coincida con uno degli assi della curva.
In tal caso vi sarebbe solo il massimo.
Alle conclusioni precedenti si puo' anche giungere intuitivamente se si osserva
che la retta generica parallela ad AB taglia l'ellisse in due punti che
si congiungono in un solo punto C quando la retta ,scorrendo sempre parallelamente
ad AB, diventa tangente.In questa posizione C ha la massima ( o la minima) distanza da AB.
karl
$R/x=H/(H-y)$ da cui la relazione
(1) $Hx+Ry-RH=0, 0
$F(x,y)=pix^2y-lambda(Hx+Ry-RH) $ con le condizioni (1)
Annullando il gradiente di F si ha il sistema:
${(2pixy-lambda H=0),(pi x^2-lambda R=0),(Hx+Ry-RH=0):}$
che porta alle soluzioni accettabili
$x=2/3R,y=1/3H$
Soluzioni che corrispondono ad un massimo dato che il cilindro
minimo e' chiaramente quello schiacciato sulla base del cono.
Un modo elementare di risolvere il problema ,senza cioe' ricorrere
alle derivate ,si puo' ottenere osservando che il volume del cilindro
si puo' scrivere anche così:
$V=(pi)/(H^2R)(Hx)^2*(Ry)$
E poiche' dalla (1) si trae che e' $Hx+Ry=RH=$costante,il
massimo (come e' noto) si ha quando risulta:
$(Hx)/2=(Ry)/1$ e questa insieme con la (1) porta alle soluzioni
gia' trovate.
2°) Poiche' la base AB del triangolo ABC e' fissa ,il massimo
richiesto si ha quando il terzo vertice C(x,y) e' alla massima distanza
dalla retta di AB.Ora l'equazione di tale retta e':
(2)$(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)=0$ e quindi tale distanza e':
$d=(|(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)|)/(sqrt((x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2))$
Pertanto,scegliendo uno dei possibili segni del valore assoluto,
si ha la seguente funzione di Lagrange:
$F(x,y)=1/2[(y_1-y_2)x+(x_2-x_1)y+(x_1y_2-x_2y_1)]-lambda(b^2x^2+a^2y^2-a^2b^2)$
con la condizione (2) e le altre seguenti:
(3) $-a<=x<=+a,-b<=y<=+b,b^2x_1^2+a^2y_1^2=a^2b^2,b^2x_2^2+a^2y_2^2=a^2b^2$
Annullando il gradiente di F si hanno le condizioni:
(4)${(1/2(y_1-y_2)-2lambda b^2x=0),(1/2(x_2-x_1)-2lambda a^2y=0):}$
che insiene alle (2) e (3) danno un sistema dal quale e' possibile
ricavare C(x,y).Tuttavia ,data la genericita' del problema ,forse non si
richiede di risolvere materialmente il sistema (cosa pure possibile)
ma di intepretarne il contenuto geometrico.A tal proposito dividiamo
membro a membro le (4):
$(y_2-y_1)/(x_2-x_1)=-(b^2)/(a^2)*(x/y)$ ed osserviamo che il primo membro
di questa nuova eguaglianza rappresenta il coefficiente angolare della retta
AB mentre il secondo membro e' il coefficiente angolare della retta tangente
all'ellisse nel punto C.Ne segue che il punto C richiesto e' uno dei due
punti di contatto dell'ellisse medesima con le tangenti ad essa, parallele
ad AB.Naturalmente uno dei due punti corrisponde al massimo richiesto e
l'altro ad un minimo,a meno che AB non coincida con uno degli assi della curva.
In tal caso vi sarebbe solo il massimo.
Alle conclusioni precedenti si puo' anche giungere intuitivamente se si osserva
che la retta generica parallela ad AB taglia l'ellisse in due punti che
si congiungono in un solo punto C quando la retta ,scorrendo sempre parallelamente
ad AB, diventa tangente.In questa posizione C ha la massima ( o la minima) distanza da AB.
karl
Meno male che Matt 77 chiedeva solo consigli sulla soluzione !!
Le mie spiattellate soluzioni non sono ,quasi mai,nè piatte nè scontate.
Con un pizzico di presunzione,direi che esse possano servire da
modello per esercizi simili e mostrino vie alternative non percorribili da tutti.
Naturalmente questo non mi impedisce di ringraziare quanti sul
Forum mi insegnano ogni giorno qualcosa.Essi sono molti ,con qualche eccezione ovviamente.
karl
Con un pizzico di presunzione,direi che esse possano servire da
modello per esercizi simili e mostrino vie alternative non percorribili da tutti.
Naturalmente questo non mi impedisce di ringraziare quanti sul
Forum mi insegnano ogni giorno qualcosa.Essi sono molti ,con qualche eccezione ovviamente.
karl
Io penso che sia didatticamente un errore indicare la soluzione completa sopratutto quando uno chiede solo un consiglio.
Secondo me aiutare non vuol dire sostituirsi a chi chiede l'aiuto .
Secondo me aiutare non vuol dire sostituirsi a chi chiede l'aiuto .
Ma di quale didattica si va cianciando !! Qui non siamo a scuola...
Io penso che l'errore stia in quelli che sparlano senza averne
nè la forza ,nè il diritto.
karl
Io penso che l'errore stia in quelli che sparlano senza averne
nè la forza ,nè il diritto.
karl
Per me la discussione è chiusa.
E' ormai noto a tutti che sono nettamente dalla parte di Camillo per questa annosa questione; mi piacerebbe chiedere a Karl se lui crede che per imparare a fare esercizi di Matematica e' sufficiente leggersi e studiarsi un eserciziario di esercizi svolti. Sono quasi certo che anche se uno studia in modo completo e approfondito, alla fine davanti ad un esercizio da fare da solo sarebbe bloccato.
Noi che "sappiamo fare gli esercizi" non dovremmo mostrare quanto siamo bravi, ma aiutare chi ha difficolta' seguendo passo passo, solo cosi' si costruisce un ragionamento insieme, che e' quello che poi deve rimanere a chi ha chiesto aiuto.
Noi che "sappiamo fare gli esercizi" non dovremmo mostrare quanto siamo bravi, ma aiutare chi ha difficolta' seguendo passo passo, solo cosi' si costruisce un ragionamento insieme, che e' quello che poi deve rimanere a chi ha chiesto aiuto.
Io invece dò ragione a karl.
Leggere una soluzione in maniera critica ti insegna a ragionare o quantomeno ti fornisce uno schema di ragionamento.
Leggere una soluzione in maniera critica ti insegna a ragionare o quantomeno ti fornisce uno schema di ragionamento.
@ Lussardi.Niente lezioni psico-pedagogiche,prego.
Non ho quasi mai risposto a richieste che puzzavano di svogliatezza
un miglio lontano.Ma la mia opinione e' che ,su un Forum,uno si aspetti
di risolvere con immediatezza i suoi problemi del momento.Non che debba
sorbirsi una lezione a distanza,magari pure rateizzata in piu' messaggi.
O peggio che veda rispondersi con qualche...ermetico accenno di soluzione.
Perche' si deve sapere che occorre arte ed esperienza anche in questo.
Pensate che tutti ne siano capaci? A leggere certe repliche,giurerei di no....
Meglio allora una risposta esauriente che gli faccia da modello ( e,se del caso,
gli indichi anche metodi alternativi) per altre occasioni simili,come ho gia'
avuto modo di dire.
La vostra opinione e' diversa? E che ci si puo' fare:e' proprio la liberta'
di vedute che ha reso popolare questo Forum.E se permettete anche
la qualita' delle risposte.
A meno che non decidiate di censurare le repliche troppo particolareggiate!!!
karl
Non ho quasi mai risposto a richieste che puzzavano di svogliatezza
un miglio lontano.Ma la mia opinione e' che ,su un Forum,uno si aspetti
di risolvere con immediatezza i suoi problemi del momento.Non che debba
sorbirsi una lezione a distanza,magari pure rateizzata in piu' messaggi.
O peggio che veda rispondersi con qualche...ermetico accenno di soluzione.
Perche' si deve sapere che occorre arte ed esperienza anche in questo.
Pensate che tutti ne siano capaci? A leggere certe repliche,giurerei di no....
Meglio allora una risposta esauriente che gli faccia da modello ( e,se del caso,
gli indichi anche metodi alternativi) per altre occasioni simili,come ho gia'
avuto modo di dire.
La vostra opinione e' diversa? E che ci si puo' fare:e' proprio la liberta'
di vedute che ha reso popolare questo Forum.E se permettete anche
la qualita' delle risposte.
A meno che non decidiate di censurare le repliche troppo particolareggiate!!!
karl
... la vostra opinione e' diversa?... e che ci si puo' fare... e' proprio la liberta'
di vedute che ha reso popolare questo forum... e se permettete anche
la qualita' delle risposte...
Non ho parole per dire quanto sono d'accordo con Karl... in particolare in quanto ho sottolineato... non vorrei pensare che la libertà di vedute sia considerata cosa 'indesiderabile'... o peggio 'pretesto' per censure e bannaggi...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
di vedute che ha reso popolare questo forum... e se permettete anche
la qualita' delle risposte...
Non ho parole per dire quanto sono d'accordo con Karl... in particolare in quanto ho sottolineato... non vorrei pensare che la libertà di vedute sia considerata cosa 'indesiderabile'... o peggio 'pretesto' per censure e bannaggi...
cordiali saluti
lupo grigio
An old wolf may lose his teeth, but never his nature
Non ho imposto a nessuno il mio modo di rispondere, ne' Camillo mi pare che abbia imposto qualcosa. Rimane una mia opinione personale, sulla quale rimango piu' che convinto che sia la cosa didatticamente piu' efficace. Questo ovviamente comporta un lavoro maggiore da parte di chi offre aiuto, ed un lavoro maggiore da parte di chi lo ha chiesto, che deve mostrare di darsi da fare e seguire il ragionamento.
Mi stupisco pero' che io e Camillo che non siamo nel mondo dell'insegnamento la pensino cosi', mentre due insegnanti (Karl e Piera - correggetemi se sbaglio professione) la pensino in modo opposto.
Mi stupisco pero' che io e Camillo che non siamo nel mondo dell'insegnamento la pensino cosi', mentre due insegnanti (Karl e Piera - correggetemi se sbaglio professione) la pensino in modo opposto.
"Luca.Lussardi":
Questo ovviamente comporta un lavoro maggiore da parte di chi offre aiuto.
Su questo ho qualche dubbio. Comunque anche io sono d'accordissimo con Karl,
da studente.
In quanto ai vari modi di vedere, si è già capito che qui certi sono per un approccio
diverso da quello di Karl, come Luca Lussardi e Camillo. Tuttavia non c'è bisogno
che ogniqualvolta viene proposta una bella, completa, alternativa soluzione ad un
problema si accusi il solutore di "spiattellare". Non siamo a scuola, e per di più
se Karl o chi per lui propone una soluzione, è sempre per problemi di un certo livello,
e non per esercizi ripetitivi e di pura applicazione. Come giustamente detto
sopra, da una bella soluzione c'è sempre da imparare.
No qui sono d'accordo con Karl. A parte una cosa: come è giusto che coloro che hanno "arte ed esperienza" come Karl (non sono ironico) se vogliono diano risposte precise, come è altrettanto giusto secondo me che utenti ignoranti come il sottoscritto possano dare risposte magari frammentate, magari imprecise... (lo scopo è sempre quello di cercare di dare una mano ed eventualmente ripassare argomenti o impararne nuovi, no?). Per cui capisco le polemiche in ambito di post politici, ma qui...
Nello specifico, quando la risposta consiste dell'intera risoluzione di un problema, proporrei di usare lo spoiler, specificando che l'utente può guardare la soluzione se desidera...
Nello specifico, quando la risposta consiste dell'intera risoluzione di un problema, proporrei di usare lo spoiler, specificando che l'utente può guardare la soluzione se desidera...
Non sono d'accordo su questo: Camillo aveva intrapreso la strada secondo alcuni migliore e per altri no, e qualcun altro ha rotto questo andamento. Mi va benissimo che alcuni di voi non la pensino come me e Camillo, ma ci dobbiamo rispettare a vicenda, per cui un utente che mostra interesse ad aiutare secondo il metodo di non dare la soluzione per esteso andrebbe lasciato fare, e il suo lavoro non andrebbe interrotto, come invece e' successo.
Vedi,elgiovo , io avevo dato un accenno di soluzione ed ero pronto, dopo una reazione da parte di Matt 77 , a dare se necessario altri aiuti fino ad arrivare a costruire insieme la soluzione ...il che non è stato possibile.
No, non sono professore.
Comunque sia il metodo di camillo che quello di karl per me sono entrambi validi.
Comunque sia il metodo di camillo che quello di karl per me sono entrambi validi.
Domando scusa; la cosa importante comunque e' chiarirsi e non pestarsi i piedi, senza troppe sterili polemiche.
"Camillo":
Vedi,elgiovo , io avevo dato un accenno di soluzione ed ero pronto, dopo una reazione da parte di Matt 77 , a dare se necessario altri aiuti fino ad arrivare a costruire insieme la soluzione ...il che non è stato possibile.
Qui probabilmente è successo qualcosa di terribilmente
frustrante che è capitato più volte anche a me:
per scrivere una soluzione come quella di Karl è necessario
tempo, sia per pensarla che per scriverla. Nel frattempo,
ecco che arriva qualcuno che, per carità, con tutte le buone
intenzioni, dice: qui ti consiglio di fare così, cosà, cosò.
Il problema è che dopo aver faticato sette camicie per
partorire e soprattutto scrivere al computer la soluzione
a me non va di buttare via tutto. E a voi?
Io sono per un atteggiamento non polemico, ma
queste frasi
Noi che "sappiamo fare gli esercizi" non dovremmo mostrare quanto siamo bravi, ma aiutare chi ha difficolta' seguendo passo passo, solo cosi' si costruisce un ragionamento insieme, che e' quello che poi deve rimanere a chi ha chiesto aiuto.
mi sembrano piuttosto sentenziose da parte di chi vuole
solo "esprimere la propria opinione".
La risposta di Lussardi e' un'unica ,sorprendente contraddizione.
Da un lato egli afferma trattarsi di sue personali opinioni e
di non voler imporre niente a nessuno.Ma dall'altro si stupisce
che io e Pieragalli ,benche' insegnanti,la si pensi diversamente...
Ed io ancora qui a spiegare che ,per me,Forum e Scuola sono
due luoghi distantissimi per modalita' ,atmosfera ed esigenze
comportamentali.Ma non c'è verso !!
Forse Lussardi,nella sua esperienza puramente accademica,
pensa che io tenga le mie lezioni al liceo tramite
e-mail. Magari imbottendole di sole cifre e risultati.
Questo non e' esprimere una opinione diversa,questo e' buttar fuori,
in maniera pittosto avventata, un giudizio di professionalita' su altri
che non gli compete.
A questo punto la mia replica ,una volta chiarita la reciproca
posizione sulla questione, e' che ognuno si faccia i 'cazzi' suoi.
karl
Da un lato egli afferma trattarsi di sue personali opinioni e
di non voler imporre niente a nessuno.Ma dall'altro si stupisce
che io e Pieragalli ,benche' insegnanti,la si pensi diversamente...
Ed io ancora qui a spiegare che ,per me,Forum e Scuola sono
due luoghi distantissimi per modalita' ,atmosfera ed esigenze
comportamentali.Ma non c'è verso !!
Forse Lussardi,nella sua esperienza puramente accademica,
pensa che io tenga le mie lezioni al liceo tramite
e-mail. Magari imbottendole di sole cifre e risultati.
Questo non e' esprimere una opinione diversa,questo e' buttar fuori,
in maniera pittosto avventata, un giudizio di professionalita' su altri
che non gli compete.
A questo punto la mia replica ,una volta chiarita la reciproca
posizione sulla questione, e' che ognuno si faccia i 'cazzi' suoi.
karl
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