Estrarre basi da insiemi
Dati due insiemi :
$A= {(x,y,z) \in RR^3 : |x|>=0 \vee x+y+z=1}$
$B={(x,y,z) \in RR^3 : 1=1}$
Determinare dimensione e base ( se esistono) del sottospazio vettoriale di $RR^3$ generato da $A\capB$
Non riesco nemmeno a capire a cosa corrispondono questi insiemi quindi non so trovare una base. Aiuti?
$A= {(x,y,z) \in RR^3 : |x|>=0 \vee x+y+z=1}$
$B={(x,y,z) \in RR^3 : 1=1}$
Determinare dimensione e base ( se esistono) del sottospazio vettoriale di $RR^3$ generato da $A\capB$
Non riesco nemmeno a capire a cosa corrispondono questi insiemi quindi non so trovare una base. Aiuti?
Risposte
Il primo non è nemmeno un sottospazio vettoriale visto che dovendo essere una vera almeno una delle due affermazioni riportate nella proprietà caratteristica dell’insieme:
Se sono vere entrambe l’equazione $x+y+z=1$ implica che $(0,0,0)notinA$
Lo stesso se è vera solo l’equazione
Sè vera solo la prima allora il vettore $(1,1,1)inA$ ma $(-1)*(1,1,1)notinA$ quindi non è chiuso rispetto all’operazione di prodotto per scalare.
Il secondo è tutto $RR^3$
Se sono vere entrambe l’equazione $x+y+z=1$ implica che $(0,0,0)notinA$
Lo stesso se è vera solo l’equazione
Sè vera solo la prima allora il vettore $(1,1,1)inA$ ma $(-1)*(1,1,1)notinA$ quindi non è chiuso rispetto all’operazione di prodotto per scalare.
Il secondo è tutto $RR^3$
"anto_zoolander":
Sè vera solo la prima allora il vettore $(1,1,1)inA$ ma $(-1)*(1,1,1)notinA$ quindi non è chiuso rispetto all’operazione di prodotto per scalare.
Mmm.. ma $|x|>=0 \forall x \in R?$ Quindi posso dare anche valori negativi a $x$. Dunque tutti i vettori $(x,y,z) \in A$
Giusto non avevo notato il valore assoluto.
Allora si è un sottospazio, perché comunque quella proposizione così è sempre vera a prescindere dall’equazione. Anche qui questo sottospazio è tutto $RR^3$, se non sbaglio.
Allora si è un sottospazio, perché comunque quella proposizione così è sempre vera a prescindere dall’equazione. Anche qui questo sottospazio è tutto $RR^3$, se non sbaglio.
Ottimo! Quindi 3 basi potrebbero essere quelle canoniche $B'=<(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)>$ per entrambi gli insiemi giusto?
E $A\cap\B$ corrisponde proprio a $B'$
E $A\cap\B$ corrisponde proprio a $B'$
In poche parole l’intersezione dei due insiemi è tutto $RR^3$. Quindi una qualsiasi sua base, sarà una base dell’intersezione
Perfetto grazie 
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