Esponenziale di una matrice diagonale

[ktmktm]

Buongiorno a tutti,
sto studiando Automatica e mi sono imbattutto nell'esponenziale di matrice.

Mi ricordo bene che $e^A$ è uguale a

$I$ + $A$ + $(A^2)/2$ + $(A^3)/3!$ + ... + $(A^k)/k!$

Nel caso di matrice diagonale invece?
Mi basta fare l'esponenziale degli elementi sulla diagonale?

Vi ringrazio, non sono riuscito a trovare niente di utile altrove.

[minomic]

Ciao, sì è così. Per "dimostrarlo" possiamo ricordare che \[e^{At} = \left[e^{\lambda_1 t}v_1, e^{\lambda_2 t}v_2, \ldots, e^{\lambda_n t}v_n\right] \left[v_1, v_2, \ldots, v_n\right]^{-1}\] dove \(\displaystyle \left\{v_1, v_2, \ldots, v_n\right\} \) è una base di autovettori di $A$ relativi agli autovalori \(\displaystyle \left\{\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\right\} \). Nel caso di una matrice diagonale una base di autovettori è costituita dai vettori della base canonica, da cui la tesi.

[ktmktm]

Grazie!