Esistenza intorno aperto per ogni punto di un compatto
Domanda banale....
prendiamo un compatto $C$ sottoinsieme di $R^n$ equipaggiato con la topologia standard.
Mi stavo domandando: per ogni $x in C$ esiste un aperto della topologia standard contenuto interamente in $C$ ?
Nella topologia del sottoinsieme si tuttavia nella topologia dello spazio ambiente $R^n$ direi proprio di no.
Corretto ?
prendiamo un compatto $C$ sottoinsieme di $R^n$ equipaggiato con la topologia standard.
Mi stavo domandando: per ogni $x in C$ esiste un aperto della topologia standard contenuto interamente in $C$ ?
Nella topologia del sottoinsieme si tuttavia nella topologia dello spazio ambiente $R^n$ direi proprio di no.
Corretto ?
Risposte
Scusa ma non stai chiedendo che C sia aperto?
"marco2132k":
Scusa ma non stai chiedendo che C sia aperto?
No, $C$ per ipotesi e' un compatto (chiuso e limitato in $R^n$ con la topologia standard)
Appunto. Se preso un punto \( x\in C \) c'è un aperto \( U \) contenente \( x \) contenuto in \( C \), \( C \) è aperto (perché è unione \( C = \bigcup_{x\in C}U \)), e quindi è \( =\emptyset \).
"marco2132k":
Appunto. Se preso un punto \( x\in C \) c'è un aperto \( U \) contenente \( x \) contenuto in \( C \), \( C \) è aperto (perché è unione \( C = \bigcup_{x\in C}U \)), e quindi è \( =\emptyset \).
si ok non avevo capito (in effetti e' proprio la definizione di insieme aperto). La conclusione che $C =\emptyset $ e' perche' l'unico insieme compatto che e' anche aperto e' proprio l'insieme vuoto ?
Sì, esatto. Il tuo spazio è connesso, quindi è per questo che ti ho chiesto se intendessi davvero chiedere quello che hai chiesto.
"cianfa72":
prendiamo un compatto $C$ sottoinsieme di $R^n$ equipaggiato con la topologia standard.
Mi stavo domandando: per ogni $x in C$ esiste un aperto della topologia standard contenuto interamente in $C$ ?
Nella topologia del sottoinsieme si tuttavia nella topologia dello spazio ambiente $R^n$ direi proprio di no.
Diresti bene.
Se prendi $C=\{ x\}$ puoi costruire un facile controesempio.
"marco2132k":
Sì, esatto. Il tuo spazio è connesso, quindi è per questo che ti ho chiesto se intendessi davvero chiedere quello che hai chiesto.
ok quindi il risultato si applica nel caso di spazi connessi e non si estende a qualunque topologia, giusto?
"j18eos":
Esistono anche i compatti a interno vuoto: l'insieme di Cantor ad esempio
Tale insieme e' un altro esempio di compatto tale che per ogni punto non esiste un aperto contenuto in esso?
Sì, esatto;
sia \(\displaystyle\{x\}\) che l'insieme di Cantor sono esempi di sottoinsiemi compatti di \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale, entrambi ad interno vuoto; ovvero, non esiste un insieme aperto contenuto in essi!
sia \(\displaystyle\{x\}\) che l'insieme di Cantor sono esempi di sottoinsiemi compatti di \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia naturale, entrambi ad interno vuoto; ovvero, non esiste un insieme aperto contenuto in essi!
Tornando alla domanda iniziale io penso sia sufficiente considerare un punto di frontiera del compatto. Essendo chiuso appartiene all'insieme e per definizione di punto di frontiera non esiste un aperto della topologia dello spazio ambiente contenuto nell'insieme stesso.
Edit:
Tutto nasce da un dubbio sul thread lipschitzianita' locale :
Se \(f\) soddisfa la condizione di Lipschitz in un intorno compatto di un punto di \(X\) non e' detto che esista un intorno aperto del punto all'interno del compatto per il quale \(f\) soddisfa la condizione 'localmente lipschitziana'.
Sbaglio?
Edit:
Tutto nasce da un dubbio sul thread lipschitzianita' locale :
"gugo82":
Una funzione \(f:X\to \mathbb{R}\) è localmente lipschitziana in \(X\) quando soddisfa una condizione di Lipschitz intorno ad ogni punto \(x\in X\).
Dato che la continuità della derivata implica la sua limitatezza su ogni insieme compatto contenuto in \(X\) (per Weierstrass), è chiaro che la \(f\) soddisferà una condizione di Lipschitz in un intorno compatto di ogni punto di \(X\), ergo sarà localmente lipschitziana in \(X\).
Se \(f\) soddisfa la condizione di Lipschitz in un intorno compatto di un punto di \(X\) non e' detto che esista un intorno aperto del punto all'interno del compatto per il quale \(f\) soddisfa la condizione 'localmente lipschitziana'.
Sbaglio?
Credo di sì: essendo \(\displaystyle f\) derivabile su \(\displaystyle X\) allora significa che \(\displaystyle X\) è aperto (esercizio); e poi gugo82 considera la restrizione di \(\displaystyle f^{\prime}\) a un qualsiasi compatto \(\displaystyle K\Subset X\).
Non sta derivando \(\displaystyle f\) su \(\displaystyle K\); in questa eventualità ci sarebbe sì un errore.
Non sta derivando \(\displaystyle f\) su \(\displaystyle K\); in questa eventualità ci sarebbe sì un errore.
"j18eos":
Credo di sì: essendo \(\displaystyle f\) derivabile su \(\displaystyle X\) allora significa che \(\displaystyle X\) è aperto (esercizio); e poi gugo82 considera la restrizione di \(\displaystyle f^{\prime}\) a un qualsiasi compatto \(\displaystyle K\Subset X\).
Non sta derivando \(\displaystyle f\) su \(\displaystyle K\); in questa eventualità ci sarebbe sì un errore.
sono un po' arrugginito per cui vado per gradi...
\(\displaystyle f\) derivabile in \(\displaystyle X\) significa \(\displaystyle f\) derivabile in ogni punto di \(\displaystyle X\) per cui esiste un intorno (aperto) di ogni punto di \(\displaystyle X\) contenuto in \(\displaystyle X\) ergo \(\displaystyle X\) e' aperto.
Essendo \(\displaystyle X\) un aperto di \( \displaystyle {R^n} \) dotato della topologia naturale, allora per ogni punto di \(\displaystyle X\) esiste un compatto \(\displaystyle K\Subset X\) che lo contiene. Ora restringendo \(\displaystyle f\) e \(\displaystyle f^{\prime}\) a \(\displaystyle K\) implicitamente stiamo considerando la topologia del sottospazio (\(\displaystyle K\) diventa di fatto lo spazio ambiente).
Se ora \(\displaystyle f\) soddisfa la condizione di Lipschitz in \(\displaystyle K\) allora esiste un aperto nella topologia del sottospazio in cui \(\displaystyle f\) soddisfa localmente la condizione di Lipschitz. Ma allora esiste un aperto in \(\displaystyle X\) in cui \(\displaystyle f\) soddisfa la condizione di Lipschitz \(\Rightarrow\) \(\displaystyle f\) e' localmente lipschitziana in \(\displaystyle X\).
E' corretto ? grazie in anticipo
Sì;
però stai attento quando leggi "intorno compatto", significa che stai considerando un insieme compatto a interno non vuoto (tipo la chiusura di un intervallo aperto chiuso e limitato).
però stai attento quando leggi "intorno compatto", significa che stai considerando un insieme compatto a interno non vuoto (tipo la chiusura di un intervallo aperto chiuso e limitato).
"j18eos":
Sì;
però stai attento quando leggi "intorno compatto", significa che stai considerando un insieme compatto a interno non vuoto (tipo la chiusura di un intervallo aperto chiuso e limitato).
Scusami, non ho capito bene: dove interviene il fatto che l'intorno compatto debba essere a interno non vuoto ?
Per la definizione stessa di intorno!
In uno spazio topologico \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\), \(\displaystyle I\) è un intorno di \(\displaystyle x\in X\) se \(\displaystyle x\in\stackrel{\circ}{I}\), ovvero se \(\displaystyle x\) è interno a \(\displaystyle I\).
In uno spazio topologico \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\), \(\displaystyle I\) è un intorno di \(\displaystyle x\in X\) se \(\displaystyle x\in\stackrel{\circ}{I}\), ovvero se \(\displaystyle x\) è interno a \(\displaystyle I\).
"j18eos":
Per la definizione stessa di intorno!
In uno spazio topologico \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\), \(\displaystyle I\) è un intorno di \(\displaystyle x\in X\) se \(\displaystyle x\in\stackrel{\circ}{I}\), ovvero se \(\displaystyle x\) è interno a \(\displaystyle I\).
ok si certo, la definizione generale di intorno (tipicamente quando parlo di intorno di un punto \(x\) intendo un intorno aperto di \(x\))
Edit:
Altra cosa: tutto il discorso fatto finora vale per spazi metrici in cui una base per la topologia e' costituita dalle palle aperte secondo la metrica (in particolare la topologia standard/naturale di \(\displaystyle R^n\)). Tuttavia in generale penso che quanto detto non valga in quanto per es non e' detto esista un compatto contenuto in un aperto.
E' corretto? grazie mille.
Dovresti essere un po' più preciso...
Comunque, ogni compatto è contenuto in un aperto (per esempio lo spazio ambiente);
se prendi \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia di Sorgenfrey allora ogni suo sottoinsieme compatto è al più numerabile e quindi è a interno vuoto, e tale spazio topologico non è metrizzabile!
Comunque, ogni compatto è contenuto in un aperto (per esempio lo spazio ambiente);
se prendi \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia di Sorgenfrey allora ogni suo sottoinsieme compatto è al più numerabile e quindi è a interno vuoto, e tale spazio topologico non è metrizzabile!
"j18eos":
Dovresti essere un po' più preciso...
Comunque, ogni compatto è contenuto in un aperto (per esempio lo spazio ambiente);
se prendi \(\displaystyle\mathbb{R}\) con la topologia di Sorgenfrey allora ogni suo sottoinsieme compatto è al più numerabile e quindi è a interno vuoto, e tale spazio topologico non è metrizzabile!
Hai ragione mi sono espresso male....volevo dire: preso un aperto di un generico spazio topologico non e' detto esista un compatto in esso contenuto, giusto ?
"cianfa72":
Hai ragione mi sono espresso male....volevo dire: preso un aperto di un generico spazio topologico non e' detto esista un compatto in esso contenuto, giusto ?
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