Esistenza intorno aperto per ogni punto di un compatto
Domanda banale....
prendiamo un compatto $C$ sottoinsieme di $R^n$ equipaggiato con la topologia standard.
Mi stavo domandando: per ogni $x in C$ esiste un aperto della topologia standard contenuto interamente in $C$ ?
Nella topologia del sottoinsieme si tuttavia nella topologia dello spazio ambiente $R^n$ direi proprio di no.
Corretto ?
prendiamo un compatto $C$ sottoinsieme di $R^n$ equipaggiato con la topologia standard.
Mi stavo domandando: per ogni $x in C$ esiste un aperto della topologia standard contenuto interamente in $C$ ?
Nella topologia del sottoinsieme si tuttavia nella topologia dello spazio ambiente $R^n$ direi proprio di no.
Corretto ?
Risposte
Dipende!
Siano \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) uno spazio topologico ed \(\displaystyle A\) un suo sottoinsieme aperto (non vuoto):
[list=1]
[*:2jnphlnl]un qualsiasi sottoinsieme finito di \(\displaystyle A\) è compatto;[/*:m:2jnphlnl]
[*:2jnphlnl]se \(\displaystyle A\) fosse infinito, non è detto (in generale) che tu possa trovare un suo sottoinsieme infinito e compatto.[/*:m:2jnphlnl][/list:o:2jnphlnl]
Siano \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) uno spazio topologico ed \(\displaystyle A\) un suo sottoinsieme aperto (non vuoto):
[list=1]
[*:2jnphlnl]un qualsiasi sottoinsieme finito di \(\displaystyle A\) è compatto;[/*:m:2jnphlnl]
[*:2jnphlnl]se \(\displaystyle A\) fosse infinito, non è detto (in generale) che tu possa trovare un suo sottoinsieme infinito e compatto.[/*:m:2jnphlnl][/list:o:2jnphlnl]
"j18eos":
Dipende!
Siano \(\displaystyle(X,\mathcal{T})\) uno spazio topologico ed \(\displaystyle A\) un suo sottoinsieme aperto (non vuoto):
[list=1]
[*:3tzet4uw]un qualsiasi sottoinsieme finito di \(\displaystyle A\) è compatto;[/*:m:3tzet4uw]
[*:3tzet4uw]se \(\displaystyle A\) fosse infinito, non è detto (in generale) che tu possa trovare un suo sottoinsieme infinito e compatto.[/*:m:3tzet4uw][/list:o:3tzet4uw]
grazie per la risposta !
Per quanto riguarda il punto 1. ho provato a ragionare come segue: un sottoinsieme \(\displaystyle K\) di \(\displaystyle A\) e' compatto se e solo se e' compatto nello topologia del sottospazio. Essendo \(\displaystyle A\) aperto in \(\displaystyle X\) la sua topologia coincide con quella di \(\displaystyle X\).
Ora se \(\displaystyle K\) e' finito allora la topologia del sottospazio e' anch'essa finita (in generale e' un sottoinsieme dell'insieme potenza \(\displaystyle \mathcal P(K)\) che e' finito). Pertanto ciascuna copertura aperta di \(\displaystyle K\) (aperti della topologia del sottospazio) e' finita \(\Rightarrow\) \(\displaystyle K\) e' compatto.
Dubbio di base: il concetto di funzione derivabile (e quindi in particolare la condizione sufficiente per la lipschitzianità locale) immagino abbia senso solo nel caso in cui lo spazio base abbia struttura di campo...di fatto dobbiamo esser in grado di effettuare le somme/differenze e moltiplicazioni divisioni...
[ot]Sinceramente, non capisco cosa c'entri il mio post con fatti di Topologia Generale... Sembra abbastanza chiaro che mi stessi riferendo al caso particolare dello spazio topologico naturale su $RR$, in cui non c'è bisogno di spaccare il capello in quattro. 
[/ot]
[/ot]
"gugo82":
[ot]Sinceramente, non capisco cosa c'entri il mio post con fatti di Topologia Generale... Sembra abbastanza chiaro che mi stessi riferendo al caso particolare dello spazio topologico naturale su $RR$, in cui non c'è bisogno di spaccare il capello in quattro.
Si hai ragione...il riferimento al tuo post era solo a scopo di chiarificazione personale...
[ot]Io aggiungo un'affermazione un po' pesante: hai scritto una dimostrazione (che non ho controllato) del fatto che gli insiemi finiti son sempre compatti; quindi devo dedurre che tu non conosca la compattezza in astratto e in generalità! Sbaglio?
Se non sbagliassi, perché hai posto una domanda senza aver studiato l'argomento?[/ot]Fermo restando che esempi di insiemi compatti con infiniti punti ed ad interno vuoto sono "delicati" da spiegare, e non facili da comprendere súbito!
Se non sbagliassi, perché hai posto una domanda senza aver studiato l'argomento?[/ot]Fermo restando che esempi di insiemi compatti con infiniti punti ed ad interno vuoto sono "delicati" da spiegare, e non facili da comprendere súbito!
"j18eos":
[ot]Io aggiungo un'affermazione un po' pesante: hai scritto una dimostrazione (che non ho controllato) del fatto che gli insiemi finiti son sempre compatti; quindi devo dedurre che tu non conosca la compattezza in astratto e in generalità! Sbaglio?
Se non sbagliassi, perché hai posto una domanda senza aver studiato l'argomento?[/ot]Fermo restando che esempi di insiemi compatti con infiniti punti ed ad interno vuoto sono "delicati" da spiegare, e non facili da comprendere súbito!
Faccio una premessa: come dicevo sono un po' arrugginito su questi argomenti che (in parte) ho studiato
ormai diversi anni fa. Stavo solo cercando di rimettere in ordine i pezzi grazie al vs aiuto.
[ot]
"cianfa72":Questo non l'avevo letto: scusami.[/ot]
[...] come dicevo sono un po' arrugginito su questi argomenti che (in parte) ho studiato
ormai diversi anni fa. [...]
"j18eos":Questo non l'avevo letto: scusami.[/ot][/quote]
[ot][quote="cianfa72"][...] come dicevo sono un po' arrugginito su questi argomenti che (in parte) ho studiato
ormai diversi anni fa. [...]
no problem....vi torna comunque quel che scrivevo qualche post addietro? grazie
La tua dimostrazione è corretta.
ok bene, per quanto riguarda la definizione di derivata ritengo si possa formulare solo su un insieme con struttura di campo. Esistono altri esempi del concetto di derivata definita su un campo che non sia $R$ oppure $C$ (non contando ovviamente le loro estensioni n-dimensionali)?
grazie
grazie
La derivata, almeno nell'accezione usuale, è un limite.
Quindi col cavolo che la struttura di campo basta...
Quindi col cavolo che la struttura di campo basta...
"gugo82":
La derivata, almeno nell'accezione usuale, è un limite.
Quindi col cavolo che la struttura di campo basta...
Si certo, sono stato impreciso...chiaramente e' necessario aver definita una topologia per lo spazio di riferimento per poter passare al limite...
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