Esiste questa proprietà sui ranghi?

[pavonis1]

Date due matrice A , B quadrate di dimensione n

rank(AB)=min{rank(A),rank(B)}

cioè il rango del prodotto delle matrici A e B è uguale al più piccolo fra i ranghi di A e di B.

GRAZIE per l'aiuto ed una eventuale dimostrazione

[simoneing]

Non credo che esista questa proprietà, e per dimostrarlo basta portare un "controesempio"....prendiamo due matrice quadrate con n=2 per semplicità ad esempio:
A(1,2,3,4) b(1,0,0,1) il prodotto AB(1,2,3,4).....
ma A ha rango 2,B ha rango 1, il prodotto AB ha rango 2....dunque non funziona....
Ciao a presto

[Addieco86]

La proprità proposta è verissima. Il controesempio apportato presenta un errore: B ha rango 2.

[Addieco86]

Io lo dimostro con le applicazioni lineari. A e B sono due appl. e il loro prodotto è l'applicazione ottenuta applicando prima una poi l'altra (insomma la composizione). L'insieme di partenza ha come dimensione l'ordine di A, L'immagine della prima applicazione ha come dimensione il rango di A per le note proprietà di Dimensione delle appl. lin., e infine l'immagine dell'ultima applicazione ha come dimensione il rango di A se tale rango è minore di quello di B, il rango di B altrimenti.