Esercizio topologia
sull'insieme dei numeri reali $[-2,2]$ si consideri la seguente relazione di equivalenza
$x sim y$ se e solo se $ x=y$ oppure$ -1
e sia $X=$ [-2,2]$ / sim$
stabilire se X è connesso, compatto di haussdorf
-mi potete spiegare chi sono gli elementi di X, perchè non ho trovato su internet nulla di soddisfacente sulla topologia quoziente.
inoltre, quando bisogna usare la proiezione quoziente per risolvere questo tipo di esercizi??
grazie in anticipo
$x sim y$ se e solo se $ x=y$ oppure$ -1
e sia $X=$ [-2,2]$ / sim$
stabilire se X è connesso, compatto di haussdorf
-mi potete spiegare chi sono gli elementi di X, perchè non ho trovato su internet nulla di soddisfacente sulla topologia quoziente.
inoltre, quando bisogna usare la proiezione quoziente per risolvere questo tipo di esercizi??
grazie in anticipo
Risposte
Essendo la proiezione canonica continua [tex]$\pi:x\in[-2;2]\to[x]_{\sim}\in X$[/tex] strutturando tali insiemi con le relative topologie (lo sò chi è ma devi comunque dire qual è la topologia su [tex]$[-2;2]$[/tex])...
Per capire se [tex]$X$[/tex] è uno spazio di Hausdorff, studia gl'intorni del punto [tex]$[0]_{\sim}$[/tex].
Per capire se [tex]$X$[/tex] è uno spazio di Hausdorff, studia gl'intorni del punto [tex]$[0]_{\sim}$[/tex].
scusa non ho capito questa frase
(lo sò chi è ma devi comunque dire qual è la topologia su $[-2;2]$
sull'esercizio nel mio foglio non c'è scritto penso sia quella euclidea.....
altra domanda $[x]=x$ se $x in [-2,2]$ o...???
(lo sò chi è ma devi comunque dire qual è la topologia su $[-2;2]$
sull'esercizio nel mio foglio non c'è scritto penso sia quella euclidea.....
altra domanda $[x]=x$ se $x in [-2,2]$ o...???
Se non c'è scritto si intende l'euclidea.
Quel quoziente comunque non fa che "schiacciare" in un unico punto l'intervallo aperto $(-1,1)$.
Paola
Quel quoziente comunque non fa che "schiacciare" in un unico punto l'intervallo aperto $(-1,1)$.
Paola
scusa paola, mi puoi spiegare perchè di questo:
Quel quoziente comunque non fa che "schiacciare" in un unico punto l'intervallo aperto (-1,1).
come fai a vederlo?
Quel quoziente comunque non fa che "schiacciare" in un unico punto l'intervallo aperto (-1,1).
come fai a vederlo?
Disegna l'intervallo evidenziando i punti $-2,-1,1,2$.
Se guardi la definizione, dice che "lascia stare" tutti i punti tranne quelli tra -1 ed 1. In quest'ultimo caso i punti vengono tra loro identificati.
Hai riletto attentamente la teoria e le definizioni sui quozienti di relazione di equivalenza?
Paola
Se guardi la definizione, dice che "lascia stare" tutti i punti tranne quelli tra -1 ed 1. In quest'ultimo caso i punti vengono tra loro identificati.
Hai riletto attentamente la teoria e le definizioni sui quozienti di relazione di equivalenza?
Paola
@blabla Diceva la prof. di topologia:"Questo è un corso di topologia generale, non di analisi o di geometria differenziale, quindi quando parlate di sottoinsiemi di [tex]$\mathbb{R}$[/tex] o di [tex]$\mathbb{R}^n$[/tex] dovete specificare se la topologia è la naturale (od euclidea [N.D.R.]) oppure no!" e francamente lo trovo rigorosamente corretto a differenza del sottointenderla. 
si ma è nel foglio di esercizi che ci ha dato il prof che non c'è scritto 
...cmq la teoria la ho guardata, ma ho un prof che non è in grado di spiegarla, e quindi per capirla da solo ci vuole un pò di tempo e pazienza....anche perchè ci sono un sacco di definizioni e capire quella che serve non è proprio facile
...cmq la teoria la ho guardata, ma ho un prof che non è in grado di spiegarla, e quindi per capirla da solo ci vuole un pò di tempo e pazienza....anche perchè ci sono un sacco di definizioni e capire quella che serve non è proprio facile
Non è una buona motivazione, blabla. Questi sono argomenti di base, quindi trovi mille libri che ne parlano. Gli appunti presi in classe non sono mai la Bibbia e quando si studia all'università non si può pretendere sempre la pappa pronta.
Paola
Paola
grazie ciao
Figurati, sono uno dei pochi al mondo che specifica pure la topologia naturale di [tex]$\mathbb{R}$[/tex]. 
Per quanto riguarda il tuo prof. non dico nulla! X-|
Infine, hai altri dubbi?
Per quanto riguarda il tuo prof. non dico nulla! X-|
Infine, hai altri dubbi?
no j18eos, stasera riguardo bene tutto e poi sincaso torno alla carica ciao, buona serata
ciao, buona serata
Ma ti è rimasta nel cuore? Ogni volta che si parla di quozienti ed Hausdorff subito la segnali.
Ogni volta che si parla di quozienti ed Hausdorff subito la segnali.
"j18eos":Ce ne siamo accorti! E' una cosa che non condivido per nulla. Trovo che sia un buonissimo sistema per perdersi in chiacchiere e perdere di vista la sostanza.
Figurati, sono uno dei pochi al mondo che specifica pure la topologia naturale di [tex]$\mathbb{R}$[/tex].
ok allora ho riguardato alcune cose e posso scrivere questo:
X è compatto perchè quoziente di un compatto, cioè di [-2,2], che è compatto perchè sottoinsieme chiuso e limitato di R con laa topologia euclidea. ok?
X è connesso perchè quoziente di un connesso perchè [-2,2] è intervallo di R, cioè connesso. ok?
per quanto riguarda hausdorff mi è stato consigliato di guardare gli intorni di [0], che se non sbaglio sono degli aperti. da ciò concludo che X è di hausdorff?
X è compatto perchè quoziente di un compatto, cioè di [-2,2], che è compatto perchè sottoinsieme chiuso e limitato di R con laa topologia euclidea. ok?
X è connesso perchè quoziente di un connesso perchè [-2,2] è intervallo di R, cioè connesso. ok?
per quanto riguarda hausdorff mi è stato consigliato di guardare gli intorni di [0], che se non sbaglio sono degli aperti. da ciò concludo che X è di hausdorff?
Ma perché gli spazi di Hausdorff sono gli unici spazi topologici in cui gl'intorni sono insiemi aperti?
Oppure devi verificare qualcos'altro degli intorni di [tex]$[0]_{\sim}$[/tex]?
Oppure devi verificare qualcos'altro degli intorni di [tex]$[0]_{\sim}$[/tex]?
scusami, non ci arrivo......
Detto barbaramente: in uno spazio di Hausdorff due punti distinti sono sempre separabili! Nel dato spazio topologico, gl'intorni di [tex]$[0]_{\sim}$[/tex] e [tex]$[1]_{\sim}$[/tex] sono tutti disgiunti oppure no?
l'intervallo $(-1,1)$ che comprende lo zero collassa nei due punti -1 e 1, quindi gli intorni non sono tutti disgiunti, sbaglio?
Che l'intervallo [tex]$(-1;1)$[/tex] collassi in [tex]$0$[/tex] ci siamo!
Un qualsiasi intorno di [tex]$0$[/tex] e [tex]$1$[/tex] secondo [tex]$\mathcal{A}_{\mathrm{nat}}$[/tex] in che si trasformano mediante la proiezione canonica [tex]$\pi$[/tex]? Sono sempre disgiunti in [tex]$X$[/tex]?
Un qualsiasi intorno di [tex]$0$[/tex] e [tex]$1$[/tex] secondo [tex]$\mathcal{A}_{\mathrm{nat}}$[/tex] in che si trasformano mediante la proiezione canonica [tex]$\pi$[/tex]? Sono sempre disgiunti in [tex]$X$[/tex]?
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