Esercizio topologia
sull'insieme dei numeri reali $[-2,2]$ si consideri la seguente relazione di equivalenza
$x sim y$ se e solo se $ x=y$ oppure$ -1
e sia $X=$ [-2,2]$ / sim$
stabilire se X è connesso, compatto di haussdorf
-mi potete spiegare chi sono gli elementi di X, perchè non ho trovato su internet nulla di soddisfacente sulla topologia quoziente.
inoltre, quando bisogna usare la proiezione quoziente per risolvere questo tipo di esercizi??
grazie in anticipo
$x sim y$ se e solo se $ x=y$ oppure$ -1
e sia $X=$ [-2,2]$ / sim$
stabilire se X è connesso, compatto di haussdorf
-mi potete spiegare chi sono gli elementi di X, perchè non ho trovato su internet nulla di soddisfacente sulla topologia quoziente.
inoltre, quando bisogna usare la proiezione quoziente per risolvere questo tipo di esercizi??
grazie in anticipo
Risposte
in X non sono SEMPRE disgiunti, anche se posso trovare due intorni disgiunti ....ma in $X/sim$ sono lo stesso punto!
Allora, chiariamo le notazioni [tex]$X=[-2;2]$[/tex], quindi [tex]$X/\sim=Y$[/tex], in [tex]$Y$[/tex] non sono uguali [tex]$1$[/tex] e [tex]$0$[/tex]; in quanto collassi [tex]$X$[/tex] su [tex]$(1;-1)$[/tex] e non su [tex]$[-1;1]$[/tex].
allora no che non sono sempre disgiunti perchè un intorno aperto di 0 può contenere 1 e un intorno di uno può contenere zero! per esempio se prendiamo come aperto di 0 [1,-1] e come aperto di 1 [2,-1] questi non sono disgiunti....ok???
Non ho seguito la discussione dall'inizio ma mi pare che ti stia confondendo (se così non è mi cospargo il capo di cenere e chiedo scusa!).
Uno spazio è $T_2$ o di Hausdorff se presi due qualsiasi punti è possibile sempre trovare due intorni disgiunti. Cioè se $AA x,y in X EE U in I(x), V in I(y) t.c. U nn V = \emptyset$.
Quindi per far vedere che non è $T_2$ devi fare vedere che esistono due punti tali che per ogni loro intorno si abbia intersezione non vuota. Non basta prendere due intorni a caso.
Altrimenti nessuno spazio sarebbe di Hausdorff
Uno spazio è $T_2$ o di Hausdorff se presi due qualsiasi punti è possibile sempre trovare due intorni disgiunti. Cioè se $AA x,y in X EE U in I(x), V in I(y) t.c. U nn V = \emptyset$.
Quindi per far vedere che non è $T_2$ devi fare vedere che esistono due punti tali che per ogni loro intorno si abbia intersezione non vuota. Non basta prendere due intorni a caso.
Altrimenti nessuno spazio sarebbe di Hausdorff
secondo me ogni intono di zero deve contenere uno, e ogni intorno di uno deve contenere zero, no? 
(vale anche con 0 e -1 il ragionamento)
(vale anche con 0 e -1 il ragionamento)
@mistake89 Alla cenere ci ritornerai un altro giorno. 
@blabla Sì, tutto OK; ma perché i fatti sono questi?
@blabla Sì, tutto OK; ma perché i fatti sono questi?
prendiamo $pi:X->X/sim$ la proiezione quoziente. consideriamo un intorno aperto U di $[0]$ e un intorno aperto V di $[1]$ poniamo $U_i=pi^-1(U)$ e $V_i=pi^-1(V)$, quindi sono aperti per definizione di aperto nella topologia quoziente e anche non disgiunti. prendiamo un elemento appartenente a $U_i nn V_i$, ad esempio 1, abbiamo che $pi(1) in U$ e $pi(1) in V$, quindi l'intersezione non è vuota.
madonna che casino!!!
madonna che casino!!!
"blabla":di [tex]$U$[/tex] e [tex]$V$[/tex] in [tex]$X/\sim$[/tex].
...quindi l'intersezione non è vuota...
E lascia stare la signora Ciccone!
se però l'esercizio avesse messo l'intervallo $[-1,1]$ fosse collassato in zero, cambiava la storia vero? perchè in quel caso zero non è un aperto e allora X era di hausdorff, giusto??
si meglio
Ti dico l'incipit, limitandomi all'esercizio in questione: siano [tex]$X=[-2;2]$[/tex] e [tex]$Y=X/_{[-1;1]}$[/tex], per la regolarità di [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{A}_{\mathrm{nat}})$[/tex] si ha che per ogni [tex]$1<|z|\leq2$[/tex] esiste un suo intorno [tex]$I$[/tex] ed un aperto [tex]$A$[/tex] contenente [tex]$[-1;1]$[/tex] disgiunti, quindi... (usa la proiezione canonica [tex]$\pi$[/tex] di [tex]$X$[/tex] su [tex]$Y$[/tex]! )
)
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