Esercizio teorico applicazioni lineari
Salve a tutti, all' esame di algebra lineare sono incappato in questo esercizio che non sono proprio riuscito a capire:
Sia $ f:R^3->R^3 $ una applicazione lineare tale che $ f^2 != 0 $ e $ f^3 = 0 $ dimostrare che:
1) $ Ker f sub Ker f^2 sub Ker f^3 = R^3 $
2) $ Ker f != Ker f^2 != Ker f^3 $
3) $ f $ non è diagonalizzabile
Qualcuno potrebbe darmi qualche dritta per la risoluzione? Grazie in anticipo.
Sia $ f:R^3->R^3 $ una applicazione lineare tale che $ f^2 != 0 $ e $ f^3 = 0 $ dimostrare che:
1) $ Ker f sub Ker f^2 sub Ker f^3 = R^3 $
2) $ Ker f != Ker f^2 != Ker f^3 $
3) $ f $ non è diagonalizzabile
Qualcuno potrebbe darmi qualche dritta per la risoluzione? Grazie in anticipo.
Risposte
Considera la matrice
$$A = \left( \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \\ 0&0&0 \end{array}\right).$$
La mappa lineare data da questa matrice soddisfa le condizioni richieste (ed e' in un certo senso l'unica che soddisfa queste richieste). Prova a fare un po' di conti con questa e cerca di capire cosa succede. Poi prova a pensare alla situazione generale.
$$A = \left( \begin{array}{ccc}
0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 &1 \\ 0&0&0 \end{array}\right).$$
La mappa lineare data da questa matrice soddisfa le condizioni richieste (ed e' in un certo senso l'unica che soddisfa queste richieste). Prova a fare un po' di conti con questa e cerca di capire cosa succede. Poi prova a pensare alla situazione generale.
Grazie per la risposta!
I primi due punti dicono praticamente la stessa cosa.
Considera infatti due mappe \(\displaystyle f\colon V\to U \) e \(\displaystyle h\colon U\to W \). Allora per ogni \(\displaystyle v\in \ker V \), si ha che \(\displaystyle (h \circ f)v = h(fv) = h0 = 0 \), ovvero \(\displaystyle v\in \ker (h\circ f) \). Perciò \(\displaystyle \ker f\subseteq \ker (h\circ f) \).
In altre parole, è sempre vero che \(\displaystyle \ker f\subseteq \ker f^2 \subseteq \ker f^3 \). Il fatto che \(\displaystyle f^3\equiv 0 \) è equivalente a dire che \(\displaystyle \ker f^3 = \mathbb{R}^3 \). Siccome \(\displaystyle f^2\not\equiv 0 \) allora \(\displaystyle \ker f^2\subset \ker f^3 = \mathbb{R}^3 \).
Supponi quindi per assurdo che si abbia \(\displaystyle \ker f = \ker f^2 \). Allora per ogni \(\displaystyle w \notin \ker f \), \(\displaystyle 0 \neq f^2(w) = f(fw) \). Ovvero \(\displaystyle fw \notin \ker f \). Questo significa che, posto \(\displaystyle W = f\mathbb{R}^3 \), si ha che \(\displaystyle fW = W \) contro le ipotesi.
Per il punto 3) ti basta osservare che:
[list=a][*:1510gy5u]\(\displaystyle f \) non è la mappa nulla;[/*:m:1510gy5u]
[*:1510gy5u] che se esiste un \(\displaystyle v \) tale che \(\displaystyle fv = \lambda v \) con \(\displaystyle \lambda\neq 0 \), allora \(\displaystyle f^3v = \lambda^3v\neq 0 \).[/*:m:1510gy5u][/list:o:1510gy5u]
Considera infatti due mappe \(\displaystyle f\colon V\to U \) e \(\displaystyle h\colon U\to W \). Allora per ogni \(\displaystyle v\in \ker V \), si ha che \(\displaystyle (h \circ f)v = h(fv) = h0 = 0 \), ovvero \(\displaystyle v\in \ker (h\circ f) \). Perciò \(\displaystyle \ker f\subseteq \ker (h\circ f) \).
In altre parole, è sempre vero che \(\displaystyle \ker f\subseteq \ker f^2 \subseteq \ker f^3 \). Il fatto che \(\displaystyle f^3\equiv 0 \) è equivalente a dire che \(\displaystyle \ker f^3 = \mathbb{R}^3 \). Siccome \(\displaystyle f^2\not\equiv 0 \) allora \(\displaystyle \ker f^2\subset \ker f^3 = \mathbb{R}^3 \).
Supponi quindi per assurdo che si abbia \(\displaystyle \ker f = \ker f^2 \). Allora per ogni \(\displaystyle w \notin \ker f \), \(\displaystyle 0 \neq f^2(w) = f(fw) \). Ovvero \(\displaystyle fw \notin \ker f \). Questo significa che, posto \(\displaystyle W = f\mathbb{R}^3 \), si ha che \(\displaystyle fW = W \) contro le ipotesi.
Per il punto 3) ti basta osservare che:
[list=a][*:1510gy5u]\(\displaystyle f \) non è la mappa nulla;[/*:m:1510gy5u]
[*:1510gy5u] che se esiste un \(\displaystyle v \) tale che \(\displaystyle fv = \lambda v \) con \(\displaystyle \lambda\neq 0 \), allora \(\displaystyle f^3v = \lambda^3v\neq 0 \).[/*:m:1510gy5u][/list:o:1510gy5u]
Un esercizio facile, connesso con questi argomenti, che in un certo senso aiuta a capire come funzionano le mappe lineari:
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Sia $f : V \to V$ una mappa lineare. Se $f^N = 0$ per qualche $N$ allora $f^n = 0$.
Astenersi, almeno per un po', chi queste cose gia' le sa.
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione $n$. Sia $f : V \to V$ una mappa lineare. Se $f^N = 0$ per qualche $N$ allora $f^n = 0$.
Astenersi, almeno per un po', chi queste cose gia' le sa.
Scusate ma io e algebra siamo incompatibili...
la mia prof ha dato questa risoluzione, ma anche in questo caso non è servita a molto:
se $ lambda $ è autovalore di T e $ v $ è autovettore $ T(v)= lambdav, T(T(v))= lambda^2v, T(T(T(v)))= lambda^3v = 0*v => lamda =0 $.
T non è l' applicazione nulla, quindi non è diagonalizzabile
$ Ker T sub Ker T^2 sub Ker T^3=V $
Se $ Ker T = Ker T^2 $v vuol dire che $ T|_(ImT) $ è un isomorfismo perchè $ Im T nn Ker T = {0} $
$ Ker T^2= Ker T + (KerT|_(ImT)) $
$ Im T = IM T^2 => Im T^3=Im T $
Assurdo $ Im T^3= {0} $
$ Ker T != Ker T^2 != Ker T^3 $ perchè è l' applicazione nulla.
scusate la confusione ma ho preso la dimostrazione da degli appunti che non sono i miei
la mia prof ha dato questa risoluzione, ma anche in questo caso non è servita a molto:
se $ lambda $ è autovalore di T e $ v $ è autovettore $ T(v)= lambdav, T(T(v))= lambda^2v, T(T(T(v)))= lambda^3v = 0*v => lamda =0 $.
T non è l' applicazione nulla, quindi non è diagonalizzabile
$ Ker T sub Ker T^2 sub Ker T^3=V $
Se $ Ker T = Ker T^2 $v vuol dire che $ T|_(ImT) $ è un isomorfismo perchè $ Im T nn Ker T = {0} $
$ Ker T^2= Ker T + (KerT|_(ImT)) $
$ Im T = IM T^2 => Im T^3=Im T $
Assurdo $ Im T^3= {0} $
$ Ker T != Ker T^2 != Ker T^3 $ perchè è l' applicazione nulla.
scusate la confusione ma ho preso la dimostrazione da degli appunti che non sono i miei
È più o meno quello che ho detto io, con un ordine differente. Cosa non riesci a capire?
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