Esercizio sulle forme bilineari.
Buongiorno.
Ho il seguente esercizio riguardante le forme bilineari.
Sia $f:RR^4timesRR^4 to RR$ di matrice
Mi chiede di
1) $f$ è non degenere ? segnatura di $f$ e di determinare una base ortogonale.
2) Scrivere forma quadratica di $f$.
Per verificare se $f$ è non degenere, ho ridotto a scala la matrice $A$ e mi sono calcolato il rango della matrice ridotta a scala, dove con diverse operazioni elementari sulle righe della matrice $A$ mi ritrovo che il rango di $A$ è quattro e la sua ridotta è
Fin qui mi sembra tutto ok, salvo errori di calcolo. Invece, per calcolare la segnatura, ho letto il teorema di Sylvester, dove in particolare dice che esistono un numero $p$ con $p<=r$ , $r$ rango di $f$ e una base di $V$ per cui la matrice rappresentativa di $f$ assume la seguente forma
Ora qui mi blocco...se prendo la matrice ridotta a scala del punto precedente e quindi la base in questione è la base canonica, la matrice che riesco ad ottenere con un ulteriori operazioni elementari sulla stessa è la seguente matrice
Non so se è corretto. Mi potreste indicare se sono corretti i miei passaggi oppure devo scegliere in modo opportuno un'altra base di $RR^4$ se si come
Saluti
Ho il seguente esercizio riguardante le forme bilineari.
Sia $f:RR^4timesRR^4 to RR$ di matrice
$A:= | ( 3 , -2 , 1 , 1 ),( -2 , 1 , -1 , -1 ),( 1 , -1 , 1 , 4 ),( 1 , -1 , 4 , 2 ) | $
rispetto alla base canonica. Mi chiede di
1) $f$ è non degenere ? segnatura di $f$ e di determinare una base ortogonale.
2) Scrivere forma quadratica di $f$.
Per verificare se $f$ è non degenere, ho ridotto a scala la matrice $A$ e mi sono calcolato il rango della matrice ridotta a scala, dove con diverse operazioni elementari sulle righe della matrice $A$ mi ritrovo che il rango di $A$ è quattro e la sua ridotta è
$ | ( 1 , -1 , 1 , 4 ),( 0 , -1 , 1 , 7 ),( 0 , 0 , -1 , -4 ),( 0 , 0 , 0 , -14 ) | $
Fin qui mi sembra tutto ok, salvo errori di calcolo. Invece, per calcolare la segnatura, ho letto il teorema di Sylvester, dove in particolare dice che esistono un numero $p$ con $p<=r$ , $r$ rango di $f$ e una base di $V$ per cui la matrice rappresentativa di $f$ assume la seguente forma
$ | ( I_P , O , O ),( O , -I_(r-p) , O ),( O , O , O ) | $
Ora qui mi blocco...se prendo la matrice ridotta a scala del punto precedente e quindi la base in questione è la base canonica, la matrice che riesco ad ottenere con un ulteriori operazioni elementari sulla stessa è la seguente matrice
$ | ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , -1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , -1 ) | $
Quindi la segnatura è $(1,3)$Non so se è corretto. Mi potreste indicare se sono corretti i miei passaggi oppure devo scegliere in modo opportuno un'altra base di $RR^4$ se si come
Saluti
Risposte
"Yuyu_13":
facendo cosi il teorema di Sylvester non viene usato?
Bravo, hai posto la domanda topica!
La risposta IMHO è "NI" anche se nella pratica (che ti hanno insegnato ma soprattutto nell'ordine in cui te l'hanno insegnata) tende al "NO".
Mi fa così tanto piacere che tu abbia posto la domanda corretta che voglio provare a trasmetterti la visione geometrica che ho nella mia testa. Ovviamente, la "visione" è sempre al servizio della teoria e quindi dei teoremi che ci assicurano che la "visione" si realizzi.
Devo raccogliere un po' le idee prima di proportela...perchè vorrei farlo in maniera sequenziale.
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