Esercizio sulle coperture di un insieme.
Salve,dopo aver risolto uno degli esercizi del libro,ho pensato di continuare a fare esercizi,giusto per essere sicuro di aver capito bene la teoria;ma il quinto esercizio mi ha fatto sorgere qualche dubbio,circa le coperture di un insieme;se non vi reca disturbo,qualcuno potrebbe aiutarmi?
L'esercizio è questo:
"Siano \( E=(0,1) \) e \( E_n=(1/n,1-1/n) \).
Dimostrare che
\( \cup_{n=3}^{\infty}E_n=E \) e quindi che \( \{E_n\}_{n\geq 3} \) è una copertura di $E$,ma che non ha sottocoperture finite.
"
Per prima cosa ho cercato di capire cosa fosse l'unione degli insiemi della famiglia,e da quello che ho capito dovrebbe essere un sottoinsieme di \( \mathbb{Q} \cap(0,1) \),mentre \( E=\mathbb{R} \cap(0,1) \), e qui vedo che non mi trovo,neanche lontanamente con la traccia,qualcuno potrebbe,per favore,spiegarmi dov'è che ho sbagliato a ragionare?
L'esercizio è questo:
"Siano \( E=(0,1) \) e \( E_n=(1/n,1-1/n) \).
Dimostrare che
\( \cup_{n=3}^{\infty}E_n=E \) e quindi che \( \{E_n\}_{n\geq 3} \) è una copertura di $E$,ma che non ha sottocoperture finite.
"
Per prima cosa ho cercato di capire cosa fosse l'unione degli insiemi della famiglia,e da quello che ho capito dovrebbe essere un sottoinsieme di \( \mathbb{Q} \cap(0,1) \),mentre \( E=\mathbb{R} \cap(0,1) \), e qui vedo che non mi trovo,neanche lontanamente con la traccia,qualcuno potrebbe,per favore,spiegarmi dov'è che ho sbagliato a ragionare?
Risposte
Di niente!
Non voglio fare affermazioni azzardate, non sono un topologo (qua ci sono utenti molto più esperti di me e, anzi, ho da poco qualche nozione ti topologia generale) ma il teorema di Heine-Borel dice proprio "Un sottoinsieme di $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato". La dimostrazione che ne conosco io sfrutta in maniera pesante la struttura di $RR$ quindi immagino che non sia facile riprodurre un tale risultato in altri spazi topologici.
Ci sono risultati più deboli, ad esempio in degli spazi topologici che si chiamano spazi di Hausdorff i compatti sono anche chiusi.
Come ti dicevo, in virtù della mia poca esperienza, non mi sento di escludere che esistano risultati simili.
Comunque, se come dicevi per adesso stai studiando analisi I, ti direi di non perdere troppo tempo in questioni che comunque approfondirai in altri corsi.
Non voglio fare affermazioni azzardate, non sono un topologo (qua ci sono utenti molto più esperti di me e, anzi, ho da poco qualche nozione ti topologia generale) ma il teorema di Heine-Borel dice proprio "Un sottoinsieme di $RR^n$ è compatto se e solo se è chiuso e limitato". La dimostrazione che ne conosco io sfrutta in maniera pesante la struttura di $RR$ quindi immagino che non sia facile riprodurre un tale risultato in altri spazi topologici.
Ci sono risultati più deboli, ad esempio in degli spazi topologici che si chiamano spazi di Hausdorff i compatti sono anche chiusi.
Come ti dicevo, in virtù della mia poca esperienza, non mi sento di escludere che esistano risultati simili.
Comunque, se come dicevi per adesso stai studiando analisi I, ti direi di non perdere troppo tempo in questioni che comunque approfondirai in altri corsi.
Grazie,seguirò il tuo consiglio,dato che degli argomenti di topologia per l'analisi,ho qualche dubbio,ma di questo ne tratterò in un thread apposito.
Un paio di commenti: si chiamano ricoprimenti, e non coperture le famiglie di insiemi la cui unione è tutto lo spazio.
Per quanto riguarda il teorema di Heine-Borel, è come dice Bremen000, riguarda solo $RR^n$ perché è il suo enunciato, però uno può mettersi a cercare di generalizzarlo, in quel caso cosa può succedere?
Ad esempio in uno spazio metrico un sottospazio compatto è chiuso e (totalmente) limitato, mentre l'implicazione inversa non funziona in generale.
Per quanto riguarda il teorema di Heine-Borel, è come dice Bremen000, riguarda solo $RR^n$ perché è il suo enunciato, però uno può mettersi a cercare di generalizzarlo, in quel caso cosa può succedere?
Ad esempio in uno spazio metrico un sottospazio compatto è chiuso e (totalmente) limitato, mentre l'implicazione inversa non funziona in generale.
@otta96 Ma infatti anche io ho sempre letto ricoprimenti! Magari è una "trasposizione" di "cover"?
Sono andato a cercare su Wikipedia, che dà come dicitura possibile anche copertura, senz'altro dall'inglese cover, come dici tu, ma a me piace molto meno, e poi è meno diffuso.
@otta96:grazie per il tuo intervento
Comunque il libro riporta "copertura" ed il libro è in italiano,però ricoprimenti è più bello da sentire.
Comunque il libro riporta "copertura" ed il libro è in italiano,però ricoprimenti è più bello da sentire.
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