Esercizio sulle applicazioni lineari

[mistake89]

Non riesco a risolvere questi esercizi e vorrei ricevere qualche suggerimento:

a)Determinare un endomorfismo $f$ di $RR^3$ tale che $ker$ $f=$$
io so soltanto che $(x,y,z)inKef$ $f$ se e soltanto se $f(x,y,z)=0_RR^3$; so inoltre che $(x,y,z)$ deve essere combinazione lineare dei vettori della base del ker ovvero $v_1,v_3 in ker$, osservato che $v_2 = 2v_1 +v_2$

ho provato a risolvere il sistema ed ho trovato questa relazione $3z-7x-y=0$ quindi l'endomorfismo sarebbe $f(x,y,z)=(3z-7x-y,3z-7x-y,3z-7x-y)$?

b)Determinare un endomorfismo $f$ di $RR^4$ tale che $Im$$f=$$<(2,-5,1,0),(1,2,-1,0)>$

ora qui io so che $f(x,y,z,t)=a(2,-5,1,0)+b(1,2,-1,0)$ ma non so andare avanti

grazie mille

[franced]

"mistake89":Non riesco a risolvere questi esercizi e vorrei ricevere qualche suggerimento:

a)Determinare un endomorfismo $f$ di $RR^3$ tale che $ker$ $f=$$
io so soltanto che $(x,y,z)inKef$ $f$ se e soltanto se $f(x,y,z)=0_RR^3$; so inoltre che $(x,y,z)$ deve essere combinazione lineare dei vettori della base del ker ovvero $v_1,v_3 in ker$, osservato che $v_2 = 2v_1 +v_2$

ho provato a risolvere il sistema ed ho trovato questa relazione $3z-7x-y=0$ quindi l'endomorfismo sarebbe $f(x,y,z)=(3z-7x-y,3z-7x-y,3z-7x-y)$?

Ok, la tua applicazione lineare funziona, ma non è l'unica!
Ad esempio, va bene anche l'applicazione lineare

$f((x),(y),(z))=((-7x - y + 3z),(-14x - 2y + 6z),(7x + y - 3z))$

in generale tutte le ottieni nel modo seguente:

$f((x),(y),(z))=((k_1*(-7x - y + 3z)),(k_2*(-7x - y + 3z)),(k_3*(-7x - y + 3z)))$

dove però i coefficienti $k_j$ non possono essere tutti nulli.

[mistake89]

grazie... quindi il modo per determinarlo è quello che ho usato... e quanto all'immagine?

[franced]

"mistake89":
b)Determinare un endomorfismo $f$ di $RR^4$ tale che $Im$$f=$$<(2,-5,1,0),(1,2,-1,0)>$

Ogni vettore immagine si deve scrivere combinazione lineare dei due vettori scritti.
Basta allora considerare una matrice 4x4 (è un endomorfismo) avente per colonne
delle combinazioni lineari dei due vettori.
Attenzione: il rango deve essere 2, quindi non è possibile mettere i soli multipli di un vettore.