Esercizio sulle Applicazioni lineari

[supermaschio]

Buon giorno , è da due giorni che cerco di risolvere questo esercizio ma ormai sono arrivato ad un punto morto ed ho deciso di chiedere aiuto a voi . L'esercizio è il seguente :

Sia f: R^2 -->R^2 l'applicazione lineare definita in coordinate dalla formula f(x y )= (x-y , 4x-4y) , e si consideri l'applicazione lineare D : Hom(R^2, R^2)-->Hom(R^2, R^2) , D(g) = f o g ( f composto g ).

Dimostrare D è lineare , determinare una base di ker (D) e completarla ad una base di Hom(R^2, R^2 ).



Io sono riuscito ha dimostrare che D è lineare , pero' già dal determinare una base del ker (D)
ho avuto problemi poichè io ho proceduto prendento la matrice formata dalla formula in coordinate ( x-y , 4x-4y) e risolvendola creando una matrice a scala mi viene |1 -1| e quindi ho concluso( non so se in maniera corretta) che il rango
|0 0|
è 1 e il ker (f) =1 e quindi la dimensione di F mi viene 1-1=0 e la base del Ker (D) essendo f una possibile applicazione appartenente ad Hom (R^2 , R^2) potrebbe essere del tipo (a a ). Però non so se questa mia prima parte sia giusta e poi non so come completarla ad una base di Hom .

Grazie in anticipo a chi potrà aiutarmi !

[supermaschio]

Nessuno sa aiutarmi ? sono veramente disperato...