Esercizio sull'area di una superficie regolare
ciao, ho il seguente esercizio:
Sia $\Omega sub RR^2$ definita da $4<=x^2 +y^2<25$ , $y> -x$, $sqrt(3)y<=x$. Trasformare il dominio nelle coordinate polari e calcolare l'area di $\Omega$.
chi mi spiega come dovrei procedere per cortesia??
grazie
Sia $\Omega sub RR^2$ definita da $4<=x^2 +y^2<25$ , $y> -x$, $sqrt(3)y<=x$. Trasformare il dominio nelle coordinate polari e calcolare l'area di $\Omega$.
chi mi spiega come dovrei procedere per cortesia??
grazie
Risposte
"leffy13":
Sia $\Omega sub RR^2$ definita da $4<=x^2 +y^2<25$ , $y> -x$, $sqrt(3)y<=x$. Trasformare il dominio nelle coordinate polari e calcolare l'area di $\Omega$.
In coordinate polari hai $\rho = \sqrt(x^2+y^2)$, quindi il primo vincolo lo sistemi per bene.
Gli altri due vincoli, invece, hanno a che vedere con l'angolo $\varphi$.
quindi $2<=\rho<5$ poi che devo fare??
"leffy13":
quindi $2<=\rho<5$ poi che devo fare??
Fai un disegno e guarda che gli angoli che le due rette formano con l'asse $x$.
come trovo le 2 rette??
puoi spiegarmi meglio per favore??
grazie
puoi spiegarmi meglio per favore??
grazie
che grafico dovrei fare?non so di che superficie si tratta
gli alttri due vincoli, sono due rette:
$y=-x$ di cui prendi tutti i punti sopra la retta,
e la seconda è: $y=1/sqrt(3)x$ e qua invece prendi tutti i punti sotto e sulla retta...
ciao ciao
$y=-x$ di cui prendi tutti i punti sopra la retta,
e la seconda è: $y=1/sqrt(3)x$ e qua invece prendi tutti i punti sotto e sulla retta...
ciao ciao
Praticamente nn è difficile , l'unica cosa è capire dove varia $theta$ cmq hai una corona circolare formata da due rette una di raggio 2 e l'altra di raggio 5. e due rette $y=-x$ e $y=x/sqrt3$.
Ora in coordinate polari hai $rhoin(2,5)$ e $thetain(-pi/4,pi/6)$
ora $-pi/4$ deriva dalla relazione che $y=-x$ che in coordinate polari piane diviene $sintheta=-costheta$ e questo avviene per $theta=-pi/4$ e $pi/6$ discende analogamente dalla relazione $y=x/sqrt(3)$ in coordinate polari $sintheta=costheta/sqrt(3)$ e questo avviene per $theta=pi/6$ infatti $1/2=1/sqrt3(sqrt3/2)$. Rimane da calcolare l'integrale doppio nn dimenticarti lo giacobiano della trasformazione che è $rho$.
$int_(-pi/4)^(pi/6)d(theta)int_(2)^(5)rhodrho$
P.s.
Il titolo del messaggio è area di una superficie regolare ma questo è un integrale doppio.Te lo dico per nn creare confusione.
Ciao a presto
Ora in coordinate polari hai $rhoin(2,5)$ e $thetain(-pi/4,pi/6)$
ora $-pi/4$ deriva dalla relazione che $y=-x$ che in coordinate polari piane diviene $sintheta=-costheta$ e questo avviene per $theta=-pi/4$ e $pi/6$ discende analogamente dalla relazione $y=x/sqrt(3)$ in coordinate polari $sintheta=costheta/sqrt(3)$ e questo avviene per $theta=pi/6$ infatti $1/2=1/sqrt3(sqrt3/2)$. Rimane da calcolare l'integrale doppio nn dimenticarti lo giacobiano della trasformazione che è $rho$.
$int_(-pi/4)^(pi/6)d(theta)int_(2)^(5)rhodrho$
P.s.
Il titolo del messaggio è area di una superficie regolare ma questo è un integrale doppio.Te lo dico per nn creare confusione.
Ciao a presto
quindi l'area è $35/8\pi$ e il "pezzo" di corona circolare è nel primo e quarto quadrante. chi conferma??
grazie mille, davvero
grazie mille, davvero
Il risultato è esatto, ho capito che avevi bisogno di sapere come si risolvono gli integrali multipli, ma per questo esercizio il lavoro fatto è esagerato! L'esercizio viene in 2 passaggi con la geometria elementare.
fa nulla, l'importante è aver capito come risolvere gli esercizi di questo tipo.
grazie mille a tutti
grazie mille a tutti
meglio specificare... non siete d'accordo?
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