Esercizio sulla topologia quoziente

[squalllionheart]

Allora considero lo spazio quoziente formato da $RR$ sulla relazione di equivalenza $x omega y$ ss $x-yinQQ$, devo dimostrare che non è un Haausdorff.
Per definizione di aperto nella topologia quoziente so che sono quegli insieme di del quoziente che hanno come controimmagine un'aperto in $RR$. In questo caso non ho ben chiaro chi siano gli aperti cmq credo che siano insiemi con infiniti punti, dunque presi due punti arbitrari non vi sono mai aperti disgiuti a intersezione vuota.
Ovviamente chiedo a voi delucidazioni in merito............ Graziie

[vict85]

La base degli aperti di $RR$ sono gli intervalli aperti. Per dimostrare che non è di Hausdorff basta dimostrare che presi due punti $r$ e $s$ non esiste nessuna palla aperta $B(r, epsilon)$ che non contenga infiniti elementi della classe di equivalenza $s+QQ$ (quindi non vale neanche $T_0$).

P.S: la topologia quoziente se non ho sbagliato totalmente ad interpretare lo spazio dovrebbe essere quindi la topologia banale (seppur lo spazio quoziente contenga infiniti punti).

[squalllionheart]

Credo di si perchè preso qualunque insieme nel quoziente che non sia il vuoto o tutto facendo la controimmagine non ottengo mai un aperto in $RR$. Grazie