Esercizio sulla continuità

[la.spina.simone]

Devo fare questo esercizio di geometria:
Sia $(X,d)$ uno spazio metrico, e sia $(R,e)$ lo spazio reale con la distanza euclidea.
Provare che $d_(x_0):X \rightarrow R$, $d_(x_0)(x):=d(x,x_0)$ è continua.

Ora, il mio dubbio è il seguente:
sia $d(x,y)$ uguale a $0$ se $x=y$, $d(x,y)=1$ se $x!=y$.
Quindi trovo che la funzione $d_(x_0)=0$ se $x=x_0$, $d_(x_0)=1$ altrove.
quindi, se ad esempio scelgo $x_0=1$ la funzione ha questo grafico: -.-
e quindi mi verrebbe da concludere che non è continua, ma se applico la definizione (controimmagine di aperti è aperta) trovo che lo è.
Vorrei capire se sbaglio, credo di fare confusione con la definizione analitica di continuità...

[elvis3]

Consideriamo un'applicazione \(f\,\colon X \to \mathbb{R}\). Poiché \(X\) è uno spazio metrico, è possibile definire la continuità di \(f\) in punto \(x_0 \in X\) utilizzando la tradizionale terminologia \(\varepsilon\)-\(\delta\) (che penso sia quella che tu chiami "analitica"):

La funzione \(f\) è continua in \(x_0 \in X\) se per ogni \(\varepsilon > 0\) esiste \(\delta > 0\) tale che
\[
d(x_0,y) < \delta \Longrightarrow |f(x_0) - f(y)| < \varepsilon
\]

Assumiamo ora che la distanza \(d\) verifichi \(d(x,y) = 1\) se \(x \neq y\). Allora ogni applicazione \(f\,\colon X \to \mathbb{R}\) soddisfa la definizione qui sopra (basta scegliere \(\delta < 1\)).

P.S. Come di certo saprai, questa distanza induce su \(X\) la topologia discreta (i.e. ogni sottoinsieme è aperto) e, banalmente, ogni funzione da uno spazio discreto è continua.